Dobar, loš, kažnjiv

2023-06-16

Kako putem funkcije izvodnice procijeniti trend (lošeg) ponašanja u prometu.

Nedavno sam promatrao situaciju u prometu i uočio određenu rutinu (uzorak) (ne)opreznog ponašanja pješaka. Puno pješaka, nešto manje vozila pa se prije početka zelenog za pješake ukazivao "heroj ulice" prelazeći kolnik pod crvenim. Dio pješaka ostao bi imun na loše ponašanje, ali dio ih je, na žalost, ipak postao "sljedbenicima". Uzeo sam blok u ruke, počeo bilježiti i prikupio 22 "eksperimenta". Bilježio sam koliko svaki "heroj ulice" generira klasa od 0, 1, 2 i 3 "sljedbenika"; nije ih bilo četiri ili više. Bezvrijedni podatci (premali uzorak), ali sam umjesto buljenja u mobitel malo vježbao oko i ruku.

Pregledavajući blok nakon par dana i gledajući podatke razmišljao sam: ako bi se radilo o relevantnom (reprezentativnom) skupu podataka, na što bi podatci upućivali? (Pri)sjetio sam se svoj ranijih "istraživanja" u statistici i kombinatorici, poglavito o funkcijama izvodnicama. Uz hipotezu da je moje "istraživanje" relevantno za konkretnu lokaciju, "heroji ulice" generiraju:

0 sljedbenika s vjerojatnosti 18 %,

1 sljedbenika s vjerojatnosti 50 %,

2 sljedbenika s vjerojatnosti 23 %,

3 sljedbenika s vjerojatnosti 9 %.

Očekivani broj sljedbenika (matematičko očekivanje) E(x) je:

što ukazuje da će svako loše ponašanje zasigurno generirati više od jednog novog lošeg ponašanja. Možemo i drugačije reći. Budući je matematičko očekivanje strogo veće od jedan, to ukazuje da loše ponašanje neće odumrijeti samo od sebe; "heroji ulice" generiraju više sljedbenika od njih samih. Došao sam do "svjetskog otkrića": nema vozila – ima pješaka – crveno za pješake – ilegalni prelasci. Otkriće je "svjetsko", ali brojevi pokazuju u kojoj mjeri i koliko brzo će loše ponašanje rasti.

O funkcijama izvodnicama vjerojatnosti (probability generating functions) postoji dosta literature na hrvatskom jeziku, a na Internetu i previše. U ovom slučaju funkcija izvodnica je:

Ako riješimo jednadžbu P(s) = s,

dobit ćemo vjerojatnost nestajanja "sljedbenika". Jednadžba ima tri rješenja, a najmanje rješenje će biti vjerojatnost nestajanja "sljedbenika". Ako nestaju "sljedbenici", javnost i policija (represija) će se s puno lakše obračunati s "herojima ulice". Uz pomoć hrvatske mobilne aplikacije Photomath odmah imamo rješenja:

Prvo rješenje je negativno i u teoriji vjerojatnosti nema smisla pa nam s(2) pokazuje vjerojatnost oko 49 % da će "heroji ulice" izgubiti sljedbenike. Nije izvjesno samostalno nestajanje prelaska ceste na crveno. U ovom primjeru, kada bi brojevi bili relevantni, potreban je (određeni) napor javnih tijela da se loše ponašanje smanji. Bi li akcija bila promotivna (medijska), preventivna (upozoravajuća) ili restriktivna (kažnjavanje), o tome odlučuje nositelj prometne politike. Pretpostavimo provođenje neke mjere koja bi polučila sljedeće:

0 sljedbenika s vjerojatnosti 32 %,

1 sljedbenika s vjerojatnosti 45 %,

2 sljedbenika s vjerojatnosti 21 %,

3 sljedbenika s vjerojatnosti 2 %.

matematičko očekivanje bi bilo manje od jedan, dok bi rješenje jednadžbe P(s) = s upućivalo na:

rješenje s(3) koje pokazuje nestanak "sljedbenika". Uz još poneku represiju prema "herojima ulice", nestaje loše ponašanje pješaka.

U današnje vrijeme putem video tehnologija nije (možda) teško prikupiti relevantne ulazne podatke, a jednostavna matematika nam pokazuje gdje smo: jesmo li opasni po sebe i društvo, jesmo li (granično) prihvatljivo nedisciplinirani ili nam je ponašanje u granicama željenih normativa (postulata) sigurnosti prometa.

Oni koji znanstvenostručno promišljaju sigurnost prometa naučili su nas da statistika prometnih nesreća nije i ne može biti jedini (najvažniji) ulazni podatak zbog (minimalno) tri razloga: (1) prometna nesreća je rijedak događaj (koliko god to bezosjećajno zvučalo), (2) prometna nesreća je jedinstven događaj (koliko god ih pokušavali klasificirati) i (3) statistika (barem službena) ne bilježi sve prometne nesreće. Zato su analize opasnih ponašanja i njihovih trendova jako važne, a primjer iz ove teme pokazuje da to i nije tako teško, naravno ako imamo dobre (vjerodostojne) podatke s terena. Najpoznatiji, odnosno najpopularniji primjer zaključivanja temeljem ulaznih podataka je mjerenje brzine na presjeku (dionici). Ako je izmjerena 85-percentilna brzina iznad limita: ili je limit postavljen prenisko – infrastruktura omogućuje sigurno prometovanje višim brzinama, ili dionica predstavlja potencijalnu bombu koja će (us)skoro "eksplodirati" u nesreću s mogućim (teškim) posljedicama.

Ova tema nije ilustrirana (potpomognuta) praktičnim iskustvom, ali držim da priloženi teoretski primjer pokazuje da ponekad i nisu toliko problem podatci, već izbor adekvatne metodologije: učinkovite i ekonomične. Koliko bi rada i potrošenog vremena trebalo na izgradnju prikladnog simulacijskog ili nekog drugog modela, usklađivanja, iteracija …, za utvrđivanje nečega što se dobilo rješenjem jedne algebarske jednadžbe!? U prikazanom primjeru omjer je zasigurno (minimalno) jedan radni dan (450 minuta) naspram ovdje opisanih 20 minuta.

Malo slobodnog vremena dovelo je do "multidisciplinarnog" rada mojeg mozga i prisjećanja nekih jednostavnih, ali i moćnih alata diskretne matematike za rješenja prometnih problema (izazova, dilema, zadaća, …). Prometni inženjeri/ke mnoge stvari mogu razriješiti samostalno, a ponekad ne ide bez pomoći (suradnje) drugih struka.