Modularna aritmetika u prometu

Vrlo korisna, često je nesvjesno koristimo, a treba nam i više nego što mislimo.

Isprika unaprijed svojim profesorima ako sam pogriješio, ali zaista se ne mogu sjetiti da sam tijekom studija i na poslijediplomskom znanstvenom magisteriju slušao nešto o teoriji kongruencija. Često ovu teoriju nazivamo modularna aritmetika, koristi se i termin kružna aritmetika. Wikipedija daje jednostavno objašnjenje, a daljnja pretraga Interneta daje pregršt (besplatnih) informacija i uvida u ovu teoriju

U skupu cijelih brojeva ako 25 podijelimo s 3 dobit ćemo 8 i ostatak 1. Matematičari moraju uvijek zakomplicirati pa se nešto jednostavno zapisuje ovako: 

Kažemo da su brojevi 25 i 1 kongruentni po modulo 3 jer njihova razlika 25 – 1 = 24 djeljiva s 3. Budući se nalazimo u skupu cijelih brojeva vrijedi i obrnuto.

Najčešća ilustracija modularne aritmetike je putem klasičnog analognog sata. Analogni sat dva puta u danu pokazuje na broj jedan: u jedan sat po noći i u 13 sati poslijepodne. Brojevi 1 i 13 u analognom satu znače isto pa možemo zapisati na dva načina:

Ovakav zapis pruža pregršt mogućnosti. Biti kongruentan je relacija ekvivalencije. Svojstvo tranzitivnosti nam pruža lijepe mogućnosti. 

Ako promatramo javni prijevoz s neravnomjernim polascima u 8:10, 8:22 i 8:38, onda možemo ta tri polaska promatrati kao zaseban proces u nekom zajedničkom intervalu (modulu). Polasci su u vremenu 0, 12 i 28 pa je broj 4 zajednički modul promatranja

Četiri minute je 240 sekundi, a kada to povežemo sa semaforima onda dolazimo do duljina ciklusa od 60, 80 i 120 s. Ako 4 minute povežemo s drugim modom javnog prijevoza, onda bi taj drugi mod sa slijedom polazaka svakih 4, 8 ili 12 minuta bio smisleno povezan. Nije loše na početku se malo pomučiti i pronaći neku zajedničku mjeru – modul.

Kongruencije imaju i mnoga druga jako lijepa svojstva. Navodim još samo jedno:

Gdje je prisutna teorija kongruencija u prometu? A gdje nije. Gdje u prometu nema cikličnosti, periodičnosti, taktnosti, ponavljanja? Na jako puno (i previše) mjesta. U brojanju prometa imamo sljedeće podatke (module): 15-minutni, satni, dnevni, mjesečni, godišnji (PGDP, PLDP). Javni prijevoz se odvija u obrtima, a jedan obrt predstavlja jedan modul. Ili se odvija u sljedovima vozila, ako su ti sljedovi podjednaki (taktni vozni red) onda je slijed kretanja vozila modul u kojem promatramo odvijanje javnog prijevoza. Sve vezano za semaforizaciju odvija se u ciklusima (modulima). Na nekim raskrižjima taj modul može biti rastezljiv (zbog prometno ovisnog rada) pa ne možemo primijeniti modularnu aritmetiku, ali u grupi raskrižja gdje je uvjetovana ista duljina ciklusa zbog sinkronizacije, modularna aritmetika je neophodna. Cjelokupni prometni proces (sustav) promatramo u modulima od jednog sata, dana, mjeseca, godine. Neke dijelove sustava i u manjim jedinicama od 15 ili 20 minuta. Sve je vezano neko praćenje (odvijanje) prometa u jednakim koracima (modulima), od analize (statistike), preko nadzora pa do upravljanja.

Da to nije neki veliki bauk, a vrlo je korisno, pokazat će par primjera. Prvi primjer opisuje kretanje autobusa duž koridora sinkroniziranih semaforiziranih raskrižja. Za upravljanje semaforima ništa ne znači koliko traje putovanje. Semaforski uređaj mora znati kada upaliti zeleno da bi autobus prošao bez zaustavljanja. U primjeru s tri raskrižja koja rade s duljinom ciklusa od 90 s, autobus na prvom raskrižju kreće u 23. sekundi, putuje do drugog raskrižja 64 s, a između drugog i trećeg raskrižja putuje 127 s. Modularna aritmetika će nam reći u kojoj sekundi trebamo zapaliti zeleno na drugom i trećem raskrižju. 

Nije teško izračunati. Na drugom raskrižju zeleno treba početi u 87. sekundi, a na trećem u 34. sekundi pa će autobus proći bez zaustavljanja. Isto vrijedi i u suprotnom smjeru. Ako primjerice računamo putovanje od trećeg prema prvom raskrižju, uz korištenje formule za dijeljenje modula negativnim brojem, dobiva se rješenje da na prvom raskrižju zeleno treba upaliti u 23. sekundi; isti rezultat kao i putovanje od R1 prema R3.

Aplikacije i programski jezici imaju ugrađene funkcije modularne aritmetike. Korištenje funkcije u Excelu je jednostavno: upisivanje =MOD(87+127;90) daje rezultat 34, a upis =MOD(34-(127+64);90) daje rezultat 23.

U javnom prijevozu kongruencije nam dosta govore o voznim redovima, što ću pokazati na par primjera. Sinkronizacija voznih redova dva moda javnog prijevoza, primjerice autobusa i željeznice, može se provjeriti (uskladiti) sustavom kongruentnih jednadžbi. Ovaj blog ne uči, već (zlo)rabi matematiku pa za rješenje sustava koristim web-kalkulator . Koga zanima više neka istraži "kineski teorem o ostacima za polinome" (The Chinese remainder theorem).

Vlak dolazi svakih 35 minuta i poslužuje autobus koji odlazi svakih 20 minuta. Sustav i njegovo rješenje su:

Vozni red se odvija u vremenskim prozorima od 140 minuta. Svakih140 minuta se vozni redovi "poravnaju" . Vozni red vlaka pomakne se onoliko minuta ranije koliko putnicima treba za transfer s vlaka na autobus. Gledajući jutarnji vršni period i želju za najboljim usklađenjem u 7:20, vozni red bi trebao početi baš u 7:20 ili 140 minuta ranije u 5:00 sati. Ako želimo odrediti vremensku točku kada će vlak doći točno pet minuta ranije onda u sustav uvrtimo taj zahtjev od pet minuta. Sada znamo i taj odgovor; 40 minuta nakon usklađenog početka voznih redova.

Ako malo zakompliciramo s tri moda javnog prijevoza pa imamo multimodalni terminal u kojem vlak (dolazi svakih 25 minuta) i prigradski autobus (dolazi svakih 15 minuta) poslužuju tramvaj ili gradski autobus (odlazi iz terminala svakih 10 minuta), onda su sustav jednadžbi i rješenje sljedeći. 

Vozni redovi se "poravnaju" svakih 2:30 sata. Ako pak opet želimo odlazak tramvaja/autobusa prema odredištu u 7:20 onda bi usklađeno djelovanje voznih redova ova tri moda prijevoza trebalo početi u 7:20 ili 4:50 sati.

Dobro uređene sustave javnog prijevoza ne brinu ovakve stvari. Uspostavljaju se taktni vozni redovi s modulom 60 ili 30 minuta pa se željeni odnos dobiva jednom ili dva puta u satu. Ako iz prethodnog primjera povećamo učestalost vlakova na 20 minuta vozni redovi se preklapaju svakih 60 minuta i jednom unutar sata se postiže željeni (optimalni) odnos voznih redova. 

Naravno da nitko ne radi vozne redove (ručno ili putem računala) kako je opisano u tri prethodna primjera, ali učinkovitost modularne matematike je neupitna u smislu znatnog skraćivanja posla. Modularna matematika nam kaže unutar kojeg vremenskog intervala treba podesiti vozne redove, a nakon toga copy-paste do željenog vremena u danu. U prvom primjeru smo imali vremenski prozor od 140 minuta s intervalima vlaka 35 i autobusa 20 minuta. Ako se vlak prorijedi na 45 minuta i autobus na 30 minuta dobiva se vremenski prozor od 90 minuta. Ako ujutro želimo gušće intervale do 9:00 sati onda takav vozni red mora početi 140 (od 6:40) ili 280 minuta ranije (od 4:20). Između 9:00 i 14:00 sati imamo četiri intervala od 90 minuta pa od 14:00 možemo početi s novim voznim redom za poslijepodnevni vršni period, a poslije toga do kraja dana opet s rjeđim voznim redom u vremenskom prozoru od 90 minuta. Cijeli dan s dva vozna reda kojima možemo odgovoriti na zahtjeve korisnika. Možemo zaključiti da modularna aritmetika i nije "… baš tako, …, bez veze.".

Još jedan primjer primjene teorije kongruencija. Između semaforiziranog raskrižja i pješačkog prijelaza dogodila se prometna nesreća. Nesreća se dogodila oko 8:35 sati. Pješak na raskrižju je izjavio da je čuo udarac u trenutku kada je završilo zeleno svjetlo na njegovom pješačkom prijelazu. Bio je na pješačkom prijelazu, pazio na status signala i u trenutku promjene na crveno začuo je udarac. Pješak na semaforiziranom pješačkom prijelazu tvrdi da je baš prilikom paljenja svojeg zelenog svjetla čuo udarac. Jesu li pješaci kao svjedoci vjerodostojni, može li im se vjerovati?

Na raskrižju semaforski uređaj radi s duljinom ciklusa je 90 s i zeleno za pješačku signalnu grupu gasi se u 58. sekundi. Semaforizirani pješački prijelaz radi s duljinom ciklusa od 75 s i zeleno za pješake počinje u 28. sekundi. Obje točke su blizu mjesta nesreće pa možemo reći da su nesreću čuli u istom trenutku. Imamo sustav dvije kongruentne jednadžbe koji daju odgovor:

Svakih 450 sekundi se ciklusi preklope u zajedničkoj (početnoj) točci; nakon 450 sekundi prođe pet ciklusa od 90 s i šest ciklusa od 75 s. To se dogodi osam puta u satu. Recimo da je prvi svjedok rekao da se nesreća dogodila u 8:35 ili 8:36 minuta; nije siguran jer je tek nakon prelaska ceste pogledao na sat. Drugi svjedok kaže da se nesreća dogodila u 8:35; tako je pokazao njegov sat. Ako znamo da sustav ove signalne planove aktivira u 8:00 sati, onda znamo da će se preklopiti u 8:30, a 328 s nakon toga je 8:35:28 sati. Imamo dva argumenta kojima možemo dokazati vjerodostojnost svjedoka:

• oba iskaza potvrđena su rješenjem sustava kongruentnih jednadžbi,
• svjedoci iskazuju slično (isto) vrijeme nastanka prometne nesreće.

Možemo čak ustvrditi i da znamo točan trenutak nastanka prometne nesreće: 8:35:28 sati. Inženjeri (vještaci) su završili svoj posao i dalje je na sudstvu odrediti odgovornost svakog sudionika prometne nesreće.

Je li u praksi sve tako jednostavno? Nije. Ako u web-kalkulatoru samo jedan od brojeva promijenimo za jedan na više/manje, matematika "uzvraća" udarac i kaže da nema rješenja. Ako pak istovremeno oba broja smanjimo za jedan (na 57 i 27) rezultat je 327, a povećanjem za jedan (na 59 i 29) dobivamo 329. Zato ipak treba znati postulate matematike, u ovom slučaju kineskog teorema o ostacima za polinome, jer u praksi nepostojanje točnog matematičkog rješenja zbog 1 – 2 sekunde razlike ne znači da se nije dogodilo na način kako netko svjedoči. Ljudi su nesavršeni, ali u ovom konkretnom primjeru, obzirom na iskaze svjedoka, možemo utvrditi točno vrijeme nesreće. Općenito, ako su iskazi svjedoka konzistentni, a imamo neke vremenske točke prometnog sustava, možemo utvrditi vjerodostojan interval nastanka prometne nesreće unutar par sekundi. Manipuliramo brojevima par sekundi dolje/gore dok ne dobijemo rješenje. Rješenje podupire izjave svjedoka pa imamo jak dokaz njihove vjerodostojnosti. Određivanje točnog vremena (intervala) nastanka nesreće na ovaj način može biti i prijeporan. U nesreći na semaforiziranom raskrižju svi sudionici tvrde da su prošli "na zeleno", a pomak par sekundi unutar zaštitnog međuvremena znači nečiju krivnju/nedužnost.

Kako sam započeo, tako ću i završiti. Malo toga ćemo u fenomenu prometa pronaći, a da se ne odvija u nekim vremenskim ili procesnim prozorima (modulima). Nekad je to u minutama, a nekad u danima (kao nekad Orijent Expressom ili prekooceanskim brodom). Zato je modularna aritmetika (teorija kongruencija) zaista lijep i koristan alat. Kako je pokazala ova tema, ponekad nam ukazuje na vremenski prozor u kojem ćemo promatrati problem/proces/pojavu, a ponekad će nam dati i točno rješenje.