Prometni paradoksi (1)

Nobody gonna take my car - I'm gonna race it to the ground - Nobody gonna beat my car - It's gonna break the speed of sound - Ooh it's a killing machine - It's got everything ... (The Deep Purple, Highway Star, 1972.)

Deep Purple su 1972. godine su jasno (i glasno) opisali paradoks automobilske industrije: na tržištu su automobili skoro dva, a tko ima novaca i više, puta brži od dopuštene brzine na autocesti; zaboravimo dionice njemačkih autocesta jer su one upravo ono što i jesu - izuzetci. Što većina današnjih automobila donosi (ili odnosi) u smislu ekologije i sigurnosti prometa - svi znamo. Svaka sličnost s distribucijom i konzumacijom duhana i alkohola (ni)je slučajna.

Ovdje se bavim (puno) ozbiljnijim stvarima. Prije ulaska u temu napominjem da sam već pisao o dva statistička paradoksa: vremenu čekanja i Simpsonovom. Ovi paradoksi su univerzalni, mogu se pronaći i u prometu, a u ovoj temi opisujem nešto vezano isključivo i jedino za (gradski) promet. Na početku odmah postavljam (hipo)tezu: promet je sam po sebi paradoksalan i nije moguće izbjeći neočekivane, zbunjujuće, ... paradoksalna pojave. "Krivac" za to je engleski ekonomist William Stanley Jevons (1835. - 1882.) koji je još davne 1865. godine dokazao da nakon povećanja učinkovitosti parnih strojeva nije došlo do očekivanog smanjenja potrošnje ugljena, već upravo suprotno, potrošnja ugljena se znatno povećala. Danas se Jevonsov paradoks najčešće interpretira: ako tehnološki napredak poveća učinkovitost nekog resursa, zbog pada troškova korištenja povećat će se njegova potražnja i iskorištavanje. Ako se umjesto termina "tehnološki napredak" stavi bilo kakva konkretna tehnološka stečevina dobivaju se identične pojave (paradoksi).

Naftna kriza 1970-tih, proizvodnja ekonomičnijih i učinkovitijih vozila, pojeftinjenje energenata, ekspanzija posjedovanja osobnog automobila te (trajno) napuštanje (zanemarivanje) javnog prijevoza; to je priča mnogih društava (država) od 1970. - 1990. godine. Relevantna istraživanja pokazuju da se nismo opametili; vlasnici električnih automobila puno više koriste svoja vozila (Zašto ne bi? Ne zagađuju!) od vlasnika klasičnih automobila pa, umjesto ekološkog doprinosa smanjenju emisije ispušnih plinova zbog korištenja ekološki neutralnog vozila, itekako doprinose stvaranju češćih neodrživih stanja prometa (zagušenja) i time obezvrjeđuju (anuliraju) učinke korištenja električnih vozila i još više pospješuju emisiju buke i štetnih plinova klasičnih automobila.

Najpoznatija, danas vjerojatno i jedina moguća, metoda za borbu protiv Jevonsovog paradoksa kod tehnološkog razvoja je vođenje politike povećanja troškova korištenja, a to znači povećanje postojećih ili uvođenje novih poreza, ili politike ograničavanja. Nema baš puno takvih političara, da li ih uopće ima!? Nešto je lakša situacija u gradovima. I danas je još uvijek popularna priča o uvođenju Congestion Charge u Londonu 2003. godine. To je (relativno) uspješna priča o ograničavanju individualnog motornog prometa u mega-metropolskom okruženju koju su svi (javnost, struka, čak i politika) pozdravili i podržali, a pozadina uspjeha je jednostavna: središte Londona bilo je u velikim prometnim problemima (neki tvrde i neodrživima) i drugog rješenja nije bilo - to je shvatila čak i "automobilska većina". Bez obzira na uspjeh i dokazanu učinkovitost i danas je popularna politička tema.

Nešto drugačijim putem je krenuo Stockholm 2006. godine gdje je visina naknade ulaska vozila u središte grada ovisila o vremenu ulaska; po noći besplatno, a najviša cijena tijekom dnevnih vršnih sati (7:30 - 8:29, 16:00 - 17:29). Što se dogodilo? Nekoliko mjeseci nakon uvođenja održan je referendum i stanovnici Stockholma bili su ZA nastavak rada sustava, a okolnih 14 lokanih jedinica PROTIV takvog rješenja. Ipak, na sreću stanovnika Stockholma, u isto vrijeme došli su opći izbori i izabrani političari su podržali ovo rješenje. Pitanje je tko bi što zagovarao i tko bi bio izabran da su izbori bili poslije poznatih rezultata referenduma!? Na sreću, mjera je pokazala svoju učinkovitost pa je bez problema preživjela politička prepucavanja.

Kao što je i gospodin Jevons zaključio prije 157 godina, uzrok paradoksa nije u tehnologiji, on je u čovjeku. Mikroekonomisti su nas naučili da u tržišnom gospodarstvu (sustavu ponude i potražnje) svaka racionalna osoba temelji svoj izbor na jednostavnom, razumnom i prirodnom načelu: dobiti što više za što manje novaca. Zašto bi se danas imatelj električnog vozila vozio javnim prijevozom kada svoje vozilo još uvijek može napuniti besplatno na javnim punionicama? Već sam objasnio do čega je doveo takav stav. To je dokaz teze o općoj paradoksalnosti prometa. Naravno, dokaz se temelji na onome što nas je naučio gospodin Wardrop 1952. godine; razlika između user equilibrium i system optimum korištenja (poimanja, promatranja, doživljavanja) prometa. Još prije ekspanzije automobilskog prometa objasnio nam je da će "racionalno ljudsko biće" tonuti sve više u kontraproduktivna rješenja. Da su ubrzo neki progledali (zanemariva manjina) pokazuje primjer američkog novinara Lewisa Mumforda (prometnog nestručnjaka) iz 1955. godine koji je u to vrijeme ekspanziju kolnih površina u New Yorku usporedio s čovjekom koji svoju pretilost rješava proširenjem hlača i popuštanjem remena.

Američki ekonomist Anthony Downs je 1962. godine zaključio u svom radu nepretencioznog naslova Downs's Law of Peak-Hour Traffic Congestion da proširenje cestovne mreže neće smanjiti prometna zagušenja jer će privući još više prometa. Dokaz je intuitivan (logičan):

1) povećanjem propusne moći ceste povećava se brzina prometnog toka jer isti broj vozila ima na raspolaganju veću prometnu površinu,

2) ostali dobivaju informaciju o povoljnim uvjetima i dolazi do povećane potražnje s tri strane:

2a) oni koji su je koristili cestu prije/poslije vršnih sati zbog izbjegavanja zagušenja počinju voziti u vršnim satima,

2b) vozači s drugih cesta počinju koristiti ovu cestu koja sada ima bolje parametre od drugih cesta u vršnim satima,

2c) neki putnici javnog prijevoza prelaze na automobile jer je novom cestom brže putovanje u vršnim satima,

3) prethodna tri konvergentna stanja prema rekonstruiranoj cesti dovode do situacije iste razine zagušenja u vršnim dnevnim periodima kao i prije.

Ova pojava je toliko puta potvrđena u praksi da se naziva još i Iron Law of Congestion ili kako bi se slobodno prevelo na hrvatski Aksiom zagušenja. Nije Downs prvi bio svjestan toga, ali je prvi to jasno sistematizirao i (znanstveno) pokazao.

Svi se najviše pozivaju na knjigu britanskog znanstvenika Martin J. Mogridge-a iz 1990. godine "Travel in towns - Jam yesterday, jam today and jam tomorrow?". Toplo preporučujem svakome koga zanima (gradski) promet. Knjiga kirurški precizno secira londonsku prometnu mrežu. Neki su zlobno primijetili da je netko od britanskih političara pročitao (i shvatio) tu knjigu još 1990. godine možda se London ne bi doveo u Congestion Charge situaciju 23 godine kasnije. Njegovi zaključci su bili similarni zaključcima Dawida Lewisa 13 godina ranije pa je njihov doprinos objedinjen u Lewis-Mogridge position koja se na hrvatski najkraće može prevesti: više cesta - više prometa. Malo stručnija definicija glasi: promet će uvijek iskoristiti raspoloživi cestovni prostor - raspoloživu propusnu moć ceste i pozitivni učinci izgradnje neke ceste nestat će nakon nekoliko mjeseci, a ponekad i tjedana.

Lewis-Mogridge zaključak je izvedenica Jevonsovog paradoksa, pri čemu resurs predstavlja propusnu moć ceste (mreže).

Spomenut ću još jedan "krunski" prometni paradoks i na njemu se najviše zadržati: Downs-Thomson paradoks iz 1997. godine. Zanimljivo je da počiva na premisama iz 1920. godine u radovima Arthur Cecila Pigou-a koje je već tada dalekovidno zaključio da je rješenje za cestovni promet uvođenje naknade za korištenje cesta, a ne njihova ekspanzija. Opisana istraživanja Anthony Downs-a iz 1962. godine je 1977. godine neovisno potvrdio John Michael Thomson. Gospodin Mogridge je 1997. godine ta dva zaključka povezao u nešto što je nazvao Downs-Thomson paradoks. Postoji još nekoliko naziva i puno varijanti ovog paradoksa jer postoji niz istraživača koji su tijekom cijelog 20. stoljeća ukazivali na nešto što, očigledno, nitko nije htio slušati ili razumjeti. Ima nekoliko izreka paradoksa, a izvorna (relativno točna) definicija glasi: brzina putovanja automobilom jednaka je prosječnoj brzini putovanja "od vrata do vrata" javnim prijevozom. Najkraća empirijska definicija je: povećanje propusne moći cesta može dovesti do pogoršanja funkcioniranja cijelog prometnog sustava, Preveden na jezik stvarnog života paradoks znači: poboljšanje cestovne infrastrukture privući će nove korisnike pa će se smanjiti broj korisnika javnog prijevoza i učiniti ga još neatraktivnijim, što će izazvati debalans ulaganja u prometni sustav: dodatna ulaganja u cestovnu infrastrukturu jer je još više zagušena, a još manje u javni prijevoz jer je ionako neatraktivan. Što na kraju imamo: zagušene ceste u režimu stani-kreni vožnje i javni prijevoz koji: a) se provlači kroz te iste zagušene ceste i b) ako je i izdvojen zbog malog broja polazaka postaje neatraktivan. Zbog toga se ljudi još više odlučuju na putovanje automobilima jer im javni prijevoz ne nudi baš ništa. Poznato?

Nije sve baš tako jednostavno, nije sve baš tako crno-bijelo. Nije baš svaki problematični prometni sustav u stanju ovdje opisanog ili nekog drugog prometnog paradoksa. Postoje argumentirani kontra-primjeri negacije nastanka i postojanja prometnih paradoksa. Takva stanja se nazivaju uvjeti eliminacije paradoksa ili preduvjeti za izbjegavanje nastanka paradoksa. Kod Downs-Thomson paradoksa, na općoj razini, dva su ključna elementa:

(1) (ne)kvaliteta ili (ne)atraktivnost sustava javnog prijevoza (poglavito učestalost i kapaciteti prijevoznih sredstava - udobnost prijevoza u vršnim dnevnim periodima) je ključna prilikom odluke pojedinca koji oblik prijevoza odabrati nakon intervencije u cestovnoj infrastrukturi; teško je kvantificirati (normirati) osobne preferencije, ali neatraktivan javni prijevoz nema baš nikakve veze s "paradoksalnim" ponašanjem korisnika;

(2) ravnoteža prometnog sustava s motrišta korisnika (user equilibrium) ne postiže se samo procjenom vremena i cijene putovanja, na odluku pojedinca utječu i drugi čimbenici: ekološka i društvena svijest zbog proklamiranih prometnih i javnih politika s jedne strane, kao i društveni status te osobni doživljaj prometa ("javni prijevoz je za sirotinju", "nema šanse da se na poslu pojavim bez automobila", "svaki dan moram autom na posao jer uvijek moram još nešto obaviti", ...).

Također, postoje dileme (teškoće) jasne identifikacije paradoksa u slučaju kada autobusi prometuju istim prometnicama. Tu su iskustva različita:

• poboljšanja autobusnog prijevoza u uvjetima kada je poznato ili se opravdano pretpostavlja da rekonstrukcija prometnice neće privući puno novog prometa (nije tranzitni koridor); vrijeme putovanja autobusom se više smanjuje od vremena putovanja automobilom; nema paradoksa - upravo suprotno; poboljšali smo javni prijevoz,
• rekonstrukcija je ubrzala prometni tok (slični uvjeti prethodnog slučaja), a tijekom te rekonstrukcije je optimiziran/pogoršan položaj autobusnih stajališta pa se vrijeme putovanja autobusom skraćuje/produljuje; uvjeti gdje nema/dolazi do paradoksa,
• rekonstrukcija prometnice je generirala uvjete koje opisuju Downs i Mogridge pa autobusi putuju jednako (sporo) kao i automobili sa znatno manje putnika; jasni uvjeti Downs-Thomson paradoksa.

Do sada sam naglašavao vrijeme putovanja kao glavni čimbenik izbora moda prijevoza, odnosno mjere nastanka prometnog paradoksa. Još važniji (ili barem jednako važan) je čimbenik troška putovanja. Činjenica je da praktična istraživanja (opet toplo preporučujem potrošiti 50-tak EUR za knjigu gospodina Mogridgea) analiziraju prometni sustav i većinom zaključuju da se ljudi orijentiraju prema vremenu putovanja. Kada putnici vlakom uoče da "automobilisti" brže dolaze na posao, napuštaju vlak i počinju koristiti automobile. Kada vozači automobila shvate da putnici vlakom dolaze brže i na vrijeme dio njih prelazi na vlak. U nastavku ću koristiti izraz "vrijeme" misleći pri tome na ukupnost svih parametara (jediničnih troškova) putovanja.

Da bi nešto pokazali (dokazali) prvo to treba izmjeriti. Vrijeme putovanja javnog prijevoza danas ne predstavlja problem u modernim prometnim sustavima; Public Transport Management osigurava brojne informacije, od koji je vrijeme putovanja jedna od ključnih. U malo manje modernim sustavima preostaje voziti se i mjeriti. Isto je i kod cestovnog prometa; ili će nam sustav (Demand Management, Traffic Control and Operations) dati podatke, ili ćemo sjesti u auto i voziti se - kako? Opisao sam u ovoj temi. Vrijeme (trošak) putovanja cestom u automobilu sadrži dvije komponente: (1) putovanje bez otpora u uvjetima slobodnog toka i (2) dodatno vrijeme zbog uvjeta na cesti (količina prometa u relaciji s regulacijom i organizacijom prometa, stanjem cestovne infrastrukture i dr.).

Imamo korisnike prometnog sustava "q" koji se dijele na korisnike cestovnog prometa "q(1)" i korisnike javnog prijevoza "q(2)". Vrijeme (trošak) putovanja cestom "T(1)":

gdje je "a" vrijeme putovanja u slobodnom toku, "b" je koeficijent koji povećava putovanje u ovisnosti broja korisnika ceste "q(1)" i njezine propusne moći "Q(1)".

Vrijeme putovanja javnim prijevozom "T(2)":

gdje je "d" ukupno vrijeme putovanja (trošak postojanja sustava javnog prijevoza) koje se smanjuje većim brojem putnika "q(2)" (smanjuje se pokazatelj jediničnog vremena (troška) putovanja) i koeficijentom "e" koji opisuje različite utjecaje: više putnika učestaliji prijevoz, više putnika smanjuje troškove - jedinično vrijeme putovanja, statistička razdioba dolaska putnika na stajalište, intervali dolazaka vozila (različiti, taktni, podložni promjenama) i sl..

Očito je (d > a) jer je osnovno vrijeme putovanja javnim prijevozom zbog zaustavljanja na stajalištima uvijek veće od vremena putovanja cestom u slobodnom toku.

Već sam nekoliko puta naglasio u ovom blogu da još uvijek živimo u vremenima gdje se prometni sustavi u većini "bijelog svijeta" ne ponašaju prema system optimum već po načelu user equilibrium, a to znači da svaki pojedinac traži za sebe najbolje rješenje: itinerer i mod prijevoza. Gospodin Wardrop objasnio je 1952. godine, a gospodin John Forbes Nash sve to lijepo izračunao godinu ranije (studenti prometa slušaju teoriju igara i upoznati su s Nashovom ravnotežom). Kada se sustav nakon neke promjene stabilizira (nakon nekoliko mjeseci, ponekad 1 - 2 godine) dobivamo uravnoteženo stanje "T(1) = T(2)". Interesira nas situacija sa cestovnim koridorom pa rješavamo sustav po "q(1)":

Ako (matematički) pogledamo rubni uvjet gdje svi prelaze na cestu, odnosno "q(1) à q" i riješimo jednadžbu po propusnoj moći "Q(1)":

Prije smo pokazali da je (d > a) pa je nazivnik pozitivan, "q" je strogo veći od nule jer predstavlja ukupan promet; nema prometnog sustava bez korisnika. Koeficijent "b" je strogo veći od nule jer to traži priroda modela vremena putovanja cestom. Brojnik i nazivnik su veći od nule pa je propusna moć "Q(1)" pozitivan broj, što je logično i očekivano, ali sada i matematički dokazano. Možemo se vratiti na prethodnu jednadžbu za q(1)" i na sličan način pokazati (dokazati) da su brojnik i nazivnik pozitivni, odnosno postoji promet u prometnom sustavu.

Zvuči malo bedasto dokazivati postojanje ceste (propusne moći) i prometa na cesti, ali smo ovim dokazali i ispravnost (egzistenciju) modela za "T(1)" i "T(2)" te ujedno uspostavili i dokazali pretpostavke za neke odnose između koeficijenata: a, b, d i e.

Budući smo ranije dokazali da su svi članovi brojnika i nazivnika pozitivni brojevi, ovo je dokaz da povećanje propusne moći ceste povećava troškove (vrijeme) putovanja na cestovnom koridoru, a time pogoršava ukupno stanje prometnog sustava. Ako se povećava "T(1)", povećava se i "T(2)" jer smo u ravnotežnom stanju, a to je jedino moguće ako se smanji broj putnika javnim prijevozom. Zašto se povećava "T(2)" ako se povećava i T(1)? Promjena putnika u javnom prijevozu uzrokuje: 

da svako smanjenje putnika (promjena putnika "dq(2) < 0") povećava "T(2)", a to je jedino moguće ako se smanjuje broj putnika javnim prijevozom, što pak znači da se povećava broj korisnika ceste "q(1)".

Dakle, svako povećanje propusne moći cesta u uvjetima user equilibrium, u uvjetima jednakih vremena (troškova) putovanja javnog i individualnog prijevoza, predstavlja loše rješenje - nastupa Downs-Thomson paradoks. Netko može postaviti pitanje što ako propusnu moć "Q(1)" povećamo više od "(bq/(d - a))"? Odgovor je jasan; povećanjem propusne moći ceste veće od te vrijednosti izlazimo iz područja prometnog paradoksa i ulazimo u područje težeg psihičkog poremećaja (ne)svjesne težnje za uništenjem sustava javnog prijevoza.

Da ova matematička gnjavaža ima svoju uporabnu vrijednost, pokazuje konkretan model. U prijašnjim temama koristio sam podatke Zagrebačke avenije u Zagrebu pa ću i sada pokazati model vremena putovanja (troškova) Zagrebačkom avenijom u pravcu istoka; model je aktualan, vrijedi od kraja 2018. godine. Poznati su mi parametri organizacije i regulacije prometa te svi parametri izračuna propusne moći pa je, temeljem mjerenja vremena putovanja, lako izračunati model.

Model ima visoku razinu korelacije između količine prometa i vremena putovanja (R2 = 0,81). Može se prikazati na dva načina: (1) klasičan regresijski model i (2) model kojim se jasno pokazuje utjecaj količine prometa.  

Što nam model govori: putovanje Zagrebačkom avenijom traje 217 sekundi (3:37 minuta), realno 245 s (4:05 minuta). Svakih 18 vozila u prometnom toku produljuje vrijeme putovanja za 1 s. U jutarnjem vršnom periodu ima više od 3.400 voz/h, a ta količina prometa povećava vrijeme putovanja za 3:11 minuta; povećanje za 80 %. Realno su putovanja i dulja, ali za to nije kriv prometni proces Zagrebačke avenije već deficiti okolne prometne mreže koji ne mogu prihvatiti toliki automobilski promet.

Sve do sada napisano može se simplificirati kroz sljedeći grafički prikaz. Ovakav stripovski prikaz nije nešto revolucionarno, ovakvim (sličnim) primjerima se najčešće opisuju zablude (paradoksi) u prometu. Što je dobro i/ili loše najčešće se pokazuje svima razumljivom vremenskom veličinom . 

Ljudi imaju "kratku pamet" i to je najčešći razlog zašto se zaboravlja što je bilo prije, a što danas, koliko je i da li je "danas" puno lošije/bolje nego "prije". Na početku je: "... sve lijepo ... prava milina, nova cesta, novi most, proširenje ceste, dobili smo pješačke komunikacije, imamo čak i biciklističku stazu, ... pa zašto to nismo prije napravili!? Svaka čast - pravi potez!!!". Nakon 1 - 2 godine zaboravlja se prijašnje stanje, nitko ne vodi brigu o podsustavu javnog prijevoza, jer tiha većina trpi i šuti, a nakon 3 - 4 godine opet se kreće u "poboljšanje ceste".

Ne znam da li se ovakvim stvarima u Hrvatskoj itko ozbiljnije bavi, o tome se priča vrlo rijetko, a još manje stručno piše. Vratimo se opet Zagrebačkoj aveniji:

• 2006. godine rekonstruirana je Ljubljanska avenija, oba kolnika proširena su s dva na tri prometna traka i nova prometnica nazvana je Zagrebačka avenija,
• tri mjeseca nakon rekonstrukcije promet na Zagrebačkoj aveniji porastao je sa 65.000 na 88.000 vozila dnevno - povećanje za 35 %,
• promet na južnom paralelnom koridoru (Horvaćanska cesta) pao je apsolutno za 16 %, a relativno za 23 %.

Primjer Zagrebačke avenije iz 2006. godine ilustrira Downsonov Iron Law of Congestion i Lewis-Mogridge position. Budući nema podataka (nisu mi poznati) o autobusnom javnom prijevozu na Zagrebačkoj aveniji prije i poslije rekonstrukcije ne možemo zaključivati o Downs-Thomson paradoksu.

Na rang listi paradoksa u prometnoj znanosti držim da dva zajedno drže prvo mjesto. Jedan je ovdje opisani Downs-Thomsonov, a drugi je Braessov paradoks. Njemački matematičar Dietrich Braess je 1968. godine pokazao konstrukt prometne mreže u kojem dodavanje novog linka pogoršava prometnu situaciju - povećava jedinične troškove (ili vrijeme) putovanja. Što leži iza Braessovog paradoksa? Već prije spomenuta toksična kombinacija (koju je danas još uvijek nemoguće izbjeći) Wardropovih načela i Nashove ravnoteže. Znanstvena zajednica je analizirala paradoks do najsitnijeg detalja. Poznati (najspominjaniji) svjetski primjeri pojave Braessovog paradoksa su: New York, Boston, Stuttgart, Seul, Varšava, ... . Što je moj problem s Braessovim paradoksom? Činjenica je da se tek zatvaranjem pojedine ulice (New York, Seul, Stuttgart), gradske autoceste (Boston) ili mosta (Varšava) uočilo da se radilo o takvim uvjetima. Za razliku od ovdje opisanih paradoksa, koji se mogu analizirati, predvidjeti i izračunati (ili relevantno procijeniti) učinci, uvjeti Braessovog paradoksa uočeni su (zaključeni) tek nakon njegove eliminacije, a dostupni izvori na Internetu su općeniti bez ikakvih znanstvenostručnih podataka. Braessov paradoks zaslužuje posebnu temu, o tome ću zasigurno pisati, ali se nadam nalaženju nekog konkretnog podatka (broja) kako ne bi ostao, kao i većina znanstvenostručnih radova, na razini matematičke manipulacije ilustrirane nerealnim primjerom "prometne mreže".

Započeo sam pjesmom i završavam pjesmom. Tiny Bradshaw 1951. godine The Train Kept A-Rollin':

"Well, on a train, I met a dame - She rather handsome, we kind looked the same - She was pretty, from New York City - ... - I said, train kept a-rolling all night long - ... - With a heave, and a ho, ... ".

Tko se nakon ovoga ne bi vozio vlakom, poglavito ako poslušate verziju grupe The Yardbirds (i gitaru Jimmy Pagea) iz 1968. godine!?