Šokantni šok valovi

Malo "mekši" pogled na utjecaj šok valova u cestovnom prometu.

Sudbina me (od)bacila u pragmatične vode planiranja, projektiranja i konzaltinga u prometu. Da sam (za)ostao u znanosti sigurno bi stremio izučavanju teorije prometnog toka, pri čemu bi teorija šok valova u primjeni celularnih automata bila jedna od top-tema mog interesa.

Šok valovi se "golim okom" najlakše mogu doživjeti i vidjeti (uočiti) u gradskom prometu. Stanite 200 – 250 m prije zaustavne crte semaforiziranog raskrižja i promatrajte prilazak vozila raskrižju tijekom crvenog svjetla. Koliko brzo paljenje zaustavnih svjetala (stop-svjetala) vozila koja prilaze raskrižju "putuje" prema Vama to je brzina šok vala zbog crvenog na semaforu. Kod repa čekanja od 10 ili više vozila "putovanje" je jasno uočljivo. Utjecaj šok valova je vidljiv, ali i vrlo općenit glede vremena i prostora pa tehnike upravljanja gradskim prometom izravno ne koriste teoriju šok valova.

Današnje tehnologije u vangradskom prometu (neisprekidani prometni tokovi – uninterrupted traffic flow) omogućuju brže (jasnije) uočavanje promjena u brzini i gustoći prometnog toka pa se modeli šok valova koriste kao potpora kod upravljanja – tehnika harmonizacije prometnog toka, najčešće na autocestama putem promjenjivih prometnih znakova. U dolazećem vremenu autonomnih vozila šok valovi neće iščeznuti, bit će ih puno manje, bit će puno blaži, ali opet zamjetljivi tijekom vožnje.

Koliko su šok valovi "zločesti" pokazat ću na jednom simplificiranom primjeru koji (ipak) nije toliko daleko od stvarnosti. Prometni proces bit će prekinut zaustavljanjem prometnog toka, a potrebne veličine su:

• q [voz/s] – prometni tok,
• l(v) [m] – prosječna duljina vozila; prostor koji zauzima jedno vozilo,
• i [s] – interval slijeđenja vozila tijekom kretanja nakon završetka poremećaja,
• t[s] – trajanje šok vala,
• t(1)[s] – trajanje poremećaja zbog kojeg je nastao šok val.

Ovim veličinama možemo definirati:

• v(1)[m/s] – negativan šok-val (utječe na prometni proces),
• v(2)[m/s] – pozitivan šok-val (brzina kojom se prometni tok vraća u normalno stanje).

Pretpostavka je homogenog uniformnog prometnog toka pa će u slučaju zaustavljanja takve grupe vozila biti lako modelirati brzinu šok vala: brzina kojom vozila dolaze do prepreke i svojom pojavom stvaraju rep čekanja (poremećaj). Trebamo dvije veličine: prometni tok i duljinu vozila. Njihovim umnoškom dobivamo brzinu poremećaja – brzinu negativnog šok vala; to je brzina kojom se stvara rep čekanja.

Nakon uklanjanja prepreke vozila se pokreću i oslobađaju prostor. Brzina kojom prolaze kroz presjek poremećaja je odnos prijeđenog puta vozila kroz prepreku (njegova duljina) i vremena potrebnog da se presjek prođe i oslobodi prostor za drugo vozilo (interval slijeđenja između vozila).

Želimo vidjeti na kojoj udaljenosti će djelovati šok val. Zato moramo izjednačiti duljine djelovanja negativnog i pozitivnog šok vala, jer će u toj točci pozitivan šok val eliminirati negativno djelovanje. Ne smijemo pogriješiti kod modeliranja. Negativan šok val počinje putovati od početka poremećaja, a pozitivan tek nakon prestanka poremećaja pa ima kraće vrijeme na raspolaganju za sustizanje negativnog šok vala. Izjednačavanjem njihovih putova djelovanja dobivamo vrijeme trajanja poremećaja. Slika pokazuje negativan šok val (crveno) i pozitivan šok val (plavo). Nacrtani su u istom smjeru radi lakšeg razumijevanja. Opis nastanka i prestanak poremećaja se lako transformira u mali matematički model.

Model pokazuje da duljina utjecaja šok vala DSW ovisi o vrijednostima koje stoje u logičnom odnosu glede djelovanja poremećaja u prometu:

• vremenu trajanja samog poremećaja (t1),
• prometnom toku u poremećaju (q),
• prosječnoj duljini vozila (lv),
• intervalima slijeđenja (i) kojima vozila napuštaju prostor poremećaja,

jer dulje vrijeme poremećaja, više vozila i njihova veća duljina povećavaju utjecaj negativnog šok vala, a kraći intervali slijeđenja smanjuju taj utjecaj.

Ako fiksiramo duljinu vozila l(v) = 6 m i interval slijeđenja i = 1,8 s, za različite veličine prometnog toka 800 – 1.100 voz/h i trajanje poremećaja 40 – 90 s, dobivamo duljine utjecaja šok vala od 89 pa sve do 367 m.

Za konstantne vrijednosti duljine vozila l(v) = 6 m i vremena poremećaja t(1) = 60 s, za različite veličine prometnog toka 800 – 1.100 voz/h i intervale slijeđenja tijekom kretanja 1,5 – 2,5 s imamo familiju trendova eksponencijalnog rasta duljina utjecaja šok vala od 120 do 466 m.

Konstruirani matematički model je racionalna funkcija i realan u uvjetima (v1) < v(2). U uvjetima (v1) ≥ v(2) funkcija ili nije definirana, ili su vrijednosti negativne. U oba slučaja v(2) ne može "uhvatiti" v(1) pa utjecaj šok vala postoje beskonačan. Kao kombinacija najvećeg vremenskog i prostornog zagušenja uzima se područje Pekinga (Kina) iz 2010. godine u trajanju od 12 dana na više od 100 km. Bilo je zagušenja i preko 170 km, ali nisu toliko trajala. U svakom slučaju zastrašujuće i nitko se ne bi želio naći u takvoj situaciji, ali s motrišta matematike niti blizu beskonačnim vrijednostima.

Opisat ću jedan realan primjer na autocesti koji većina nas često doživljava. Preporučujem prvo pogledati dobru vizualizaciju na YouTube.

Ova životna i foto-realistična simulacija nam ukazuje koliko šok valovi negativno utječu na promet i zašto se tehnikama harmonizacije prometnog toka (putem promjenjivih prometnih znakova) žele suzbiti nagle promjene gustoće prometa. Matematički opis nastanka šok vala na autocesti je jednostavan.

Ako se češće vozite autocestama vidjet ćete često upaljen znak izričite naredbe B32 "zabrana pretjecanja za teretna motorna vozila", samostalno ili u kombinaciji s prometnim znakom ograničenja brzine. Ova kombinacija je česta u tunelima. Ako niste znali razlog, sada znate.

Domi12345, licenca CC BY-SA 3.0, izrezano iz originala

Za izračun i analizu utjecaja šok valova treba malo podataka (prometni tok i gustoća) na dva susjedna presjeka ceste, ali to "malo podataka" je jako teško uloviti u pravom trenutku i na pravom mjestu. U današnje vrijeme sve većeg broja senzora, video tehnologije, GNSS servisa i servisa praćenja mobitela nešto je lakše, ali opet ne toliko da bi se mjerenje i praćenje šok-valova moglo usvojiti kao isključiva (autonomna) tehnika upravljanja (cestovnim) prometom.

Priča (teorija) o šok valovima ide u prilog (hipo)tezi da je negativnosti u prometnom procesu relativno jednostavno opisati i modelirati. Prepoznati, prevenirati, ublažiti i/ili sanirati ih – to je druga priča ...