Taktni vozni red i paradoks vremena čekanja

Još jedna (zanemarena) prednost primjene taktnog voznog reda.

U jednoj ranijoj temi opisao sam taktni vozni kao jedan od tri temeljena elementa integriranog prijevoza putnika. U engleskom izričaju postoje brojni izrazi za taktni vozni red. Uz dva naziva za vozni red: timetable i schedule, za pojam taktni se koriste izrazi: clock-face (ako se radi o intervalima 30 ili 60 minuta), cyclic, periodic, timed-transfer. Njemački jezik poznaje der Taktfahrplan. Očito smo iz njemačkog jezika preuzeli naš pojam.

Taktni vozni redovi su jasni pa redoviti putnici (takvih je preko 85 %) ne trebaju pamtiti vozni red. Znaju da s njihovog početnog stajališta vozilo kreće uvijek u istim minutama svakog sata, a za sve ostalo se brine sustav; npr. dolaze u točku presjedanja prije polaska drugog moda javnog prijevoza itd..

Nitko ne voli presjedati, ali ako se uspostavom taktnog voznog reda uspostavlja više točaka presjedanja uz usuglašene dolaske i odlaske (taktove) onda putnici nisu inkomodirani, nego upravo suprotno, dobivaju novu kvalitetu, veći izbor linija i nove itinerere te, najvažnije, kraće vrijeme putovanja.

Željeznički promet poglavito ima koristi od takvog pristupa. Na Internetu sam u jednom stručnoj prezentaciji naišao na podatak da je uspostavom taktnog voznog reda 2005. godine između gradova Nancy (Francuska) i Luxembourg postignuto sljedeće: povećani vozni kilometri s 10.436 na 11.247 (+ 8 %), umjesto prijašnjih 40 kompozicija vožnju obavlja 17 kompozicija (55 % manje vlakova) pa je iskorištenje vlakova s 260 km po vlaku naraslo na 662 km po vlaku (+ 255 %). Taktni vozni red polučio je trostruko poboljšanje, što se najčešće i navodi kao izravna korist (bez obzira na mod javnog prijevoza):

• više voznih kilometara,
• bolje iskorištenje voznih jedinica,
• bolje iskorištenje prometne infrastrukture.

Ništa nije savršeno pa ni taktni vozni redovi. Rjeđi su intervali na kraćim rutama što se prevenira posebnim linijama u vršnim satima (ako je zaista potrebno). Prijevozne jedinice se moraju planirati za vrše periode ili mora doći do zamjene tijekom dana. Tračnički podsustavi to rješavaju uključivanjem/isključivanjem vagona na određenim točkama u mreži, a autobusi tijekom cijelog dana prometuju dostatnim vršnim kapacitetom ili se mijenjaju tijekom dana. Svi gubici su jasni i jedinični pa se saniraju ukupnim pozitivnim efektima sustava integriranog prijevoza putnika.

Razlog ove teme je još jedna prednost taktnog voznog reda, a to je respektiranje paradoksa vremena čekanja. U engleskom jeziku može se naći u terminima: waiting time paradox, bus paradox, inspection paradox. Ovaj paradoks je još 1922. godine opisao japanski fizičar Torahiko Terada prateći tramvaje u Tokiju. Dostupna su teoretska (matematička) objašnjenja ovog paradoksa, a ovdje ću pokazati prizemniji inženjerski pristup.

Postoje dva izričaja paradoksa vremena čekanja. Prvi je se odnosi na promatranje nekoliko dolazaka i kaže da je prosječno vrijeme čekanja na vozilo javnog prijevoza uvijek veće od polovice intervala dolazaka vozila javnog prijevoza. Drugi izričaj je točan i vezan za relevantan statistički uzorak i kaže da je prosječno vrijeme čekanja putnika jednako intervalu dolazaka vozila javnog prijevoza.

Prvi izričaj je vezan uz promatranje nekoliko vozila, odnosno kraćeg vremenskog perioda. Pogledajmo jedan realan (mogući) vozni red. Vozilo javnog prijevoza dolazi na stajalište u tri intervala po 10 minuta, zatim u dva po 15 minuta te na kraju nakon 30 minuta.

Putnici dolaze tijekom cijelog vremena i moguću su dva različita dolaska: (1) dolaze na stajalište baš kada vozilo odlazi i moraju čekati cijeli interval do dolaska drugog vozila i (2) putnici dolaze između dolaska/odlaska dva vozila. U prvom slučaju radi se o dolasku baš u jednoj vremenskoj točci i putnici moraju čekati cijeli interval do sljedećeg vozila. U drugom slučaju putnici dolaze kontinuirano tijekom cijelog intervala pa je prosječno vrijeme čekanja putnika pola intervala između dolaska dva vozila. Kod izračuna prvog slučaja u obzir uzimamo intervale dolazaka vozila, imamo ih pet pa je prosječno maksimalno vrijeme čekanja:

U drugom slučaju u prvih 30 minuta imamo prosječno čekanje od 5 minuta, u sljedećih 30 minuta 7,5 minuta te na kraju 15 minuta pa je u ukupnom vremenu od 90 minuta prosječno čekanje:

Maksimalno vrijeme čekanja veće je od duljine intervala kojih ima najviše u promatranom periodu: imamo tri intervala od 10 minuta, a prosječno maksimalno vrijeme čekanja je 15 minuta. Prosječno vrijeme čekanja gotovo je jednako najbrojnijem 10-minutnom intervalu. Kao god gledali, kako god ljude pitali (a obično se uvijek čuje glasna manjina) vremena čekanja su veća od očekivanih, onih koja nam intuitivno padaju na pamet gledajući vozni red. Gornji primjer to ilustrira kroz činjenicu da je prosječno vrijeme čekanja na 60 % maksimalnog prosječnog vremena čekanja umjesto očekivanih oko 50 %: ako maksimalno čekamo 15 minuta onda bi prosječno trebali čekati 7,5 minuta, a nije tako.

Ujednačeni intervali dolazaka vozila javnog prijevoza ujednačuju maksimalne i prosječne vrijednosti čekanja. Ako u 90 minuta uvedemo 15-minutni taktni vozni red, opet ćemo imati šest dolazaka, a prosječno maksimalno i prosječno vrijeme čekanja će biti:

Maksimalno prosječno vrijeme čekanja je jednako u odnosu na prethodni slučaj, ali ovdje se radi o ujednačenim intervalima tijekom svih 90 minuta; neće biti previše nezadovoljnih (glasnijih) i zadovoljnijih. Prosječno vrijeme čekanja je kraće i tu se ističe prednost taktnog voznog reda. Ako vidimo da nam je vozilo "pobjeglo pred nosom" znamo koliko ćemo čekati, ako dođemo u nekom srednjem periodu znamo da nam za oko pola intervala taktnog voznog reda (nešto dulje - nešto kraće) dolazi prijevoz. Ako "pomiješamo" ove dvije veličine proporcionalno broju putnika (manje ih zakasni "za dlaku", a više dolazi tijekom cijelog intervala) polako se bližimo pravom izričaju paradoksa vremena čekanja.

Ako povećamo skup događaja na cijeli dan, tjedan, mjesec ili godinu doći ćemo do rezultata paradoksa vremena čekanja. Nećemo se baviti čistom matematikom, poslužit ćemo se boljim inženjerskim alatom - simulacijom. Na Internet stranici "The Waiting Time Paradox, or, Why Is My Bus Always Late?" postoji Python skripta za simulaciju dolazaka vozila javnog prijevoza i putnika na stajalište koju sam iskoristio i modificirao za potrebe ove teme. Na ovo stranici također se nalazi i kratak elegantan matematički dokaz paradoksa vremena čekanja.

Napravio sam dvije simulacije. Uvjeti prve simulacije su:

• autobus dolazi svakih 15 minuta tijekom 16 sati radnog dana,
• tjedan ima pet radnih dana,
• mjesec ima 21 radi dan,
• godina ima 250 radnih dana,
• broj putnika je slučajna veličina između 25 - 30(35) putnika po jednom autobusu.

Simulacija u jednom koraku za različite periode promatranja daje rezultate.

Ovaj nestandardni i simulacijski loše normirani postupak pokazuje trend prema izjednačavanju intervala dolazaka vozila i prosječnog čekanja putnika, kako populacija raste - postaje statistički relevantna.

Provest ćemo simulaciju na pravi način, zadovoljavajući sve postulate simulacijskog postupka. Simulirat ćemo proces tijekom jedne godine (250 radnih dana) pri čemu se simulira svaki radni dan posebno. Rezultati su sljedeći za prosječan broj putnika 25 - 30 po vozilu (što je isto simulirano kao slučajna veličina):

• prosječan interval dolazaka autobusa 14,77 minuta sa standardnom devijacijom 0,32 minute i intervalom pouzdanosti 0,04 minute,
• prosječno čekanje putnika je 14,49 minuta sa standardnom devijacijom 1,74 minute i intervalom pouzdanosti 0,22 minute,
• ukupno je prevezeno 437.559 putnika ili 27,3 putnika po autobusu.

Rezultati su očekivani. Intervali dolazaka autobusa su ujednačeniji jer je to zahtjev sustava - voznog reda. U simulaciju nije ugrađen neki čimbenik prometnog poremećaja pa su intervali dolazaka autobusa kraći od zadanog voznog reda. Vremena čekanja putnika su "raspršenija" kao logična posljedica slobodnog izbora i načina dolazaka na stajalište. Ovi podatci ukazuju na sljedeće ukupne vrijednosti:

• ukupno je na čekanje potrošeno 105.670 sati ili gotovo 629 radnih mjeseci,
• za prosječnu plaću od 1.000 EUR troškovi čekanja su 629.000 EUR.

Grafički prikazi pokazuju relevantnost (objektivnost) rezultata simulacije. Dolasci autobusa su grupirani između 14,8 i 15,1 minute, čekanje pješaka između 12,4 i 15,00 minuta. Distribucija putnika u danu tijekom cijele godine je podjednaka, osim u maksimalnim vrijednostima broja putnika (vršni sati u danu), što upućuje na prosječnu popunjenost vozila najčešće s 25 - 28 putnika. Uniformna distribucija dolazaka putnika, kao i popunjenost, mora se očekivati (pretpostaviti) ako se radi o kontinuiranom dolasku četiri autobusa u satu tijekom cijelog dana. Inače bi trebalo uspostaviti 20- ili 30-minutni taktni vozni red.

Kao i u stvarnom životu postoje pojedinačni i rijetki ekstremi, kao i činjenica da nije moguće uvijek održati idealan (ujednačen) taktni vozni red. Mala odstupanja, kao i broj i način dolazaka putnika tijekom vremena upućuju na simulacijski model koji dobro može opisati neku stvarnu situaciju. Malo kraće/dulje zadržavanje na prethodnom stajalištu, sitni kvar u sustavu, poremećaj u prometu ili vrlo mala gustoća prometa ako vozilo javnog prijevoza dijeli iste kolne površine s ostalim modovima prijevoza, sve su to objektivne (pozitivne i negativne) okolnosti nemogućnosti održanja konstantnog taktnog voznog reda.

U slučaju takta od 20 minuta intervali dolaska autobusa i vremena čekanja putnika su podjednaki - 20 minuta. Kod takta od 30 minuta (dva dolaska u satu) oba vremena su isto podjednaka - 30 minuta, pri čemu je u više simulacija prosječno vrijeme čekanja putnika 10-tak sekundi veće od 30 minuta. U obje ove simulacije je proporcionalno smanjen (prilagođen) broj putnika.

Taktnim voznim redom ne može se izbjeći paradoks vremena čekanja (matematika je neosporiva), ali prosječno vrijeme čekanja neće biti dulje od intervala vozila javnog prijevoza - takta voznog reda. Možemo laički reći da taktnim voznim redom putem paradoksa vremena čekanja svodimo prosječno vrijeme čekanja putnika na stajalištima na unaprijed poznatu veličinu. Čim smo ustrojili taktni vozni red, unaprijed znamo koliko će biti prosječno vrijeme čekanja putnika u nekom relevantnom razdoblju (minimalno jedan dan). Ako u različitim dijelovima dana imamo različite taktove (npr. u vršnim periodima, 15 minuta, a ostalo 20 minuta) uvijek znamo prosječno vrijeme čekanja putnika u svakom dijelu dana bez obzira na broj putnika, bez nekih posebnih analiza ili troškova (snimanje, mjerenje, ankete). Pri tome moramo biti svjesni većih vrijednosti u periodima promjene takta voznog reda.

Obično se barata s nekim prosječnim godišnjim troškom gradskog autobusa javnog prijevoza od 40.000 EUR, a novi košta oko 250.000 EUR. Sada možemo špekulirati na različite načine (uz hipotezu da imamo dostatan broj pričuvnih autobusa i osoblja):

• kupnjom i uvođenjem novog autobusa smanjujemo takt s 15 na 12 minuta pa smanjujemo vrijeme čekanja za 20 %, čime štedimo 125.800 EUR, a stvaramo trošak od 290.000 EUR pa ukupno imamo gubitak od 164.200 EUR,
• taj gubitak od 164.200 EUR ćemo "vratiti" za 1,5 godinu, što kroz manje troškove vremena čekanja što kroz povećanje aktivnosti područja gdje smo poboljšali prometnu ponudu,
• ako imamo autobus na raspolaganju onda imamo korist od 125.800 - 40.000 = 85.800 EUR,
• taj postojeći autobus smo uzeli na drugoj liniji pa smo tamo povećali vrijeme čekanja i gubitke pa trebamo usporediti koristi i troškove,
• itd..

Primjenom taktnog voznog reda zbog paradoksa vremena čekanja uvijek točno znamo što nudimo, a putnici uvijek točno znaju što dobivaju. Uz poznavanje prometne potražnje mogu se izravno računati različiti scenariji - modeli poslovanja. Javni prijevoz nije potpuno u mojem profesionalnom fokusu, ali opet dovoljno blizu da mogu tvrditi da ova karakteristika taktnog voznog reda nije previše spominjana niti promovirana.