Teorija igara u prometu (2); kooperativne igre
Ne
mora u prometu sve biti suprotstavljeno.
U prethodnoj temi opisao sam primjenu teorije nekooperativnih igara u prometu. Ovdje se posvećujem primjeni kooperativnih igara. Iako mnogi (opravdano) doživljavaju promet kao model nekooperativne igre, do dobrog rješenja prometnog procesa često se dolazi i na kooperativan način. Ako želimo korisnicima pružiti dojam i realitet prometa u kojem će se osjećati sigurno te doživljavati dobru ili najbolju moguću uslugu, onda će oni interpretirati svoje prometovanje kao fer i pošteno. Možemo to nazvati malim prometnim paradoksom: različite (suprotstavljene) prometne politike moraju biti kooperativne da bi korisnici u prostor-vremenu dobili kvalitetnu i sigurnu prometnu uslugu. Tko od nas iz tramvaja/autobusa nije zavidno (antagonistički) gledao prema vozaču automobila koji prolazi dok mi čekamo na zeleno, ili vozač automobila s nervozom čekao na željezničkom cestovnom prijelazu prolazak vlaka ili "strijeljao očima" pješaka koji je baš sada morao prelaziti cestu, itd.. Kako pošteno pripremiti i organizirati prometni sustav da korisnici ne ispoljavaju (previše) osobne antagonizme, kako bi promet bio protočniji, bez sigurnosnih ugroza? Jesu li baš kooperativne igre taj izbor? Nisu jedini, ali su (često) logičan i opravdan, što ću ilustrirati s nekoliko primjera.
Kooperativna igra sadrži:
- igrače; minimalno dvoje, a može ih biti i puno više,
- postignuća/troškove koji određeni podskup igrača (koalicija) može zajednički postići.
Cilj je naći izračun postignuća svih mogućih grupa (skupova, koalicija) igrača kako bi se pronašla najbolja i objektivna (najpoštenija) vrijednost.
Kooperativna igra se obično gleda kroz tri ili više igrača. Ako su dva igrača onda mogu igrati zajedno ili zasebno kroz uvažanje strategije partnera pa nema previše mogućnosti. U slučaju tri igrača mogu se stvarati grupe po dva igrača koji igrajući zajedno ostvaruju različite isplate/troškove. Te grupe se u teoriji igara nazivaju koalicije. Ostat ću na razini tri igrača jer je kod više igrača metodologija ista, samo je izračun (puno) opsežniji.
Imamo područje s nekoliko naselja i tri prometne zone.
Kako odrediti prijevoznu tarifu da bi korisnici dobili i osjećali pravičnu
razdiobu, čime će se ostvaruje prvi preduvjet korištenja javnog prijevoza.
Prije izračuna mali komentar o brojevima apliciranim za svaku zonu. Nazivaju se graničnim doprinosima (marginal contribution). Kod tarifa javnog prijevoza obično se zasnivaju na utvrđivanju razlike sustava bez javnog prijevoza i s javnim prijevozom. Ponekad je izračun metodološki i analitički lakše provesti, a ponekad se radi o složenoj proceduri ako moramo izračunati razliku između nekog stanja prije i nakon pretpostavljenih (ili ostvarenih) poboljšanih uvjeta.
Vratimo se na izračun. Odmah na pamet padaju dva pristupa: učešće i prosjek. Učešće predstavlja udio svake zone u prostoru. Polumjer djelovanja prve zone je Z1 = 9, druge Z2 = 17, a treće Z3 = 25. Prva zona ima učešće 18 %, druga 33 %, a treća 49 %. Ako bi gledali površinu 1. zone, te površine prstenova 2. i 3. zone onda bi dobili: 13 % + 33 % + 54 %. Prosjek putovanja kroz svaku zonu je: Z1/25 = 36 %, Z2/25 = Z3/25 = 32 %.
Cijela priča ipak nije tako jednostavna. U skupu od tri člana imamo 2^3 = 8 podskupova: nema putovanja (prazan skup), zasebna putovanja unutar svake zone te još četiri kombinacije putovanja: 1-2, 1-3, 2-3 i 1-2-3. Kako sve to izračunati, a da bi bilo pošteno prema svima.
Američki matematičar Lloyd Stowell Shapley
(1923. – 2016.) za doprinos teoriji igara dobio je Nobelovu nagradu za
ekonomiju 2012. godine. Otkrio je podjelu u kooperativnoj teoriji igara koja je
pravedna s motrišta doprinosa svakog igrača u svakoj mogućoj koaliciji. Što je
pravedno definirano je kroz Shapleyjeve aksiome pravednosti. Najčešće se
spominju ova četiri jer njihovim zadovoljenjem igra postiže pravednu raspodjelu
isplate/troškova igrača:
Shapleyjeva vrijednost se računa:
U ovakvoj "kobasici" vrlo lako se zaplesti i pogriješiti. Zato izračune rade računala, a kod manjeg broja igrača postoji jednostavan postupak kojeg ću pokazati. Možemo uzeti prethodni primjer tri tarifne zone javnog prijevoza gdje duljine vožnje u svakoj zoni predstavljaju mjere troška/učešća: Z1 = 9, Z2 = 17 i Z3 = 25. Troškovi za sve moguće kombinacije putovanja, ima ih 3! = 6, prikazani su u sljedećoj tablici. Kako se došlo do tih brojeva? Jednostavno:
- stupac 1-2-3: prvo se ukrcao putnik za Z1 i on plaća za sebe, onda putnik za Z2 koji plaća svoj dio, a na kraju i putnik koji će platiti za Z3,
- stupac 1-3-2: prvo su se ukrcali putnici za Z1 i Z3, budući da se Z3 ukrcao ranije on plaća za Z2 i Z3 pa Z2 ne treba platiti,
- stupac 2-1-3; prvo se ukrcao Z2 pa on plaća za Z1 i Z2, a Z3 plaća za svoju zonu,
- itd..
Granični doprinos zone Z(i) jednak je doprinosu igre s tom zonom umanjenom za doprinosu igre bez te zone:
a cijene karata koje zadovoljavaju Shapleyjeve aksiome pravednosti su za pojedinu zonu su:
Izračun nije točan s prometnotehnološkog motrišta. Ako bi gledali jednu vožnju
onda izračun ima smisla, ali govorimo o javnom prijevozu gdje se obavlja na
tisuće vožnji godišnje i cijena ovisi o broju putnika pa trošak putovanja
između tarifnih zona ne može biti običan zbroj troškova jediničnih putovanja po
zonama. Vožnja u dvije i/ili više zona generira više putnika i cijena prijevoza
bi trebala biti niža. Tu na scenu stupaju koalicije i Shapleyjeva jednadžba. Uz
ChatGPT glupo je trošiti vrijeme na programiranje pa sam preuzeo
sljedeći kod. Program je primitivan i ograničen na tri igrača, ali daje ono što
se od njega traži. Kome se ne da gnjaviti s Pythonom ima web-kalkulatore, kao
što je ovaj.
Uz pretpostavku sljedećeg modela (Python broji od 0 pa zona Z1 ima oznaku 0):
Rješenje je: Z1 = 8,5; Z2 = 4,0; Z3 = 7,5. Zbroj rješenja mora zbog prvog Shapleyjevog aksioma (pravednosti) biti jednako zbroju kada sudjeluju sve tri zone. Za pojedinačnu zonu svi plaćaju manje zbog sudjelovanja putnika iz drugih zona, a ukupno je i manji trošak prijevoza jer je veći broj putnika od vožnje u pojedinačnoj zoni.
Može se postaviti protupitanje: zašto bi stanovnici zone Z2 plaćali 50 % od prave cijene putovanja zonom Z2, a stanovnici Z1 i Z3 plaćali udio veći od 90 % od svoje jedinične cijene? Kako je to pravično i kooperativno prema Z1 i Z3?
Odgovor leži u naravi izračuna Shapleyjeve vrijednosti. Shapleyjeva vrijednost predstavlja prosječnu dodatnu (marginalnu) vrijednost/trošak koju donosi pojedini igrač kada pristupa koaliciji. Redoslijed pristupanja koaliciji može biti različit pa i dodatna vrijednost/trošak igrača koji pristupa koaliciji ovisi o tome koji su igrači u koaliciji bili prije njega. Zato je Shapleyjeva vrijednost prosječna dodatna vrijednost/trošak igrača kada se gleda po svim mogućim permutacijama igrača.
Tko i dalje ne vjeruje, morao bi povjerovati svjetskoj znanosti. Gospodin je dobio Nobelovu nagradu za ekonomiju, u čemu je otkriće i ove veličine (nazvane po njemu) odigralo znakovitu ulogu prilikom odmjeravanja njegovih zasluga. Ako i dalje postoji nevjerica, nema problema, "zasučite rukave" i krenite računati, možda pronađete grešku ili novi način izračuna udjela igrača u kooperativnim igrama pa Vam ne ginu brojna svjetska matematička priznanja, a nakon potvrde u praksi i Nobelova nagrada za ekonomiju.
Matematika je jedno, a stvarni život nešto drugo. Naravno da tarife treba preispitati i djelovati različitim subvencijama, olakšicama, poticajima i/ili naknadama glede zadovoljenja prometnih, ekonomskih, socijalnih, demografskih i drugih politika. Vjerojatno se obrazovne ustanove nalaze većinom u zoni Z1 pa će jedinice lokalne samouprave u zonama Z2 i Z3 financirati (stipendirati, subvencionirati) učenike/studente radi dobivanja i privlačenja obrazovanog stanovništva. Moguće je isto sa zdravstvenim, kulturnim, zabavnim i ostalim sadržajima. Isto će biti i s radnicima ako moraju putovati u zonu Z1, jer se porezi većinom plaćaju po mjestu prebivališta pa je interes političara u zonama Z2 i Z3 zadržati stanovništvo. Jedinici lokalne samouprave u zoni Z1 isto je interes povoljno putovanje iz ostalih zona, jer oni koji borave u zoni Z1 nešto će kupiti (potrošiti) i na svaki drugi način stvarati novu vrijednost za zonu Z1. Kada se tu upletu i troškovi korištenja automobila, od elementarnih zahtjeva korištenja prostora za parkiranjem pa sve do ekoloških utjecaja, onda pametni gradovi i mjesta znakovito prilagođuju tarifnu politiku za ostvarenje i promicanje određenih politika, najčešće u korist korisnika javnog prijevoza. Kako (ne)pametne sredine rješavaju probleme prometa na (ne)sustavan način pokazao sam u ovoj temi. Gdje god došli, polazište bi uvijek moralo biti rješenje Shapleyjevih vrijednosti.
Na kraju, sve se to da izračunati i odmah na početku "utrpati" u koristi/troškove različitih koalicija pa izračun Shapleyjevih vrijednosti može predstavljati i konačan izračun troška/koristi svakog igrača. To je ipak rijedak slučaj jer svaka jedinica lokalne samouprave ima pravo na svoju autonomnu prometnu i svaku drugu politiku, a javni prijevoznik predstavljanjem izračuna troška/koristi putovanja putem Shapleyjevih vrijednosti ima svaki mogući legitimitet (jer je zasnovan na znanosti) ostvarenja svojih zahtjeva.
Shapleyjeve vrijednosti nisu svemoguće jer nas matematika uči da permutacije nisu uvijek nešto što se može povezati s realnim životom. Zato i služi "ljudski čimbenik", u prethodnom primjeru prepun predrasuda i ograničenja, …, pa je itekako ljudski i realan – prometna politika. Za inženjere je puno veći problem što doprinos pojedinog igrača moramo prikazati (opisati) jednodimenzionalno – jednim brojem. Svaki igrač – atribut prometnog procesa zasigurno predstavlja višedimenzionalnu veličinu, ali što je tu je, moramo naći neku svojstvenu vrijednost (jedan broj) igrača koja najbolje opisuje sve njegove atribute. Na kraju, ne mora značiti da je kooperativna igra prava metoda za rješenja nekog prometnog problema.
Pokažimo još dva primjera gdje se može primijeniti
kooperativna igra. Suradnja tri jedinice lokane samouprave može se zasnivati na
rješavanju nekog skupog komunalnog ili prometnog problema. Svaku lokalnu
jedinicu zasebno rješenje bi skupo koštalo, a zajedno bi mogli postići rješenje
uz (znatno) manju investiciju i svaki kasniji (ne)redoviti trošak. Možemo opet
uzeti za primjer problem iz prometa – recimo da se želi poboljšati ili uvesti
novi sustav javnog prijevoza. Troškovi u milijunima EUR su sljedeći za pojedinu
ili kombinacije lokanih jedinica samouprave:
(0,): 2 (1,): 3 (2,): 3 (0, 1): 4 (0, 2): 4 (1, 2): 5 (0, 1, 2): 6,5.
Zajednički troškovi za sve tri jedinice su puno manji od zbroja pojedinačnih troškova pa već od tuda izvire zajednički interes i kooperacija. Jedan prijevoznik (sustav javnog prijevoza) upućuje na brojne prednosti; navedimo samo putovanje na širem području s jednom voznom kartom. Rješenje ove kooperativne igre je: 1,5; 2,5 i 2,5.
Zadnji primjer je usklađivanje prometnih politika. Možemo računati i s negativnim isplatama – pogoršanjima. Na raspolaganju su tri prometne politike: (1) izgradnja prometne infrastrukture, (2) poboljšanje javnog prijevoza i mikromobilnosti te (3) poboljšanje ili uvođenje ITS-a. Ako samo gradimo prometnu infrastrukturu, bez obzira koliko god pametno gradili, rezultat će biti negativan. Zašto je to tako pisao sam u ovoj temi, a praktičan primjer iz Zagreba opisao u ovoj temi.
Za isplate uzimamo očekivane doprinose poboljšanja
prometa u postocima u odnosu na postojeće stanje. Ako samo gradimo infrastrukturu
pogoršat ćemo prometni sustav za 2 %; zato je isplata -2. Ako apliciramo sve
tri politike postići ćemo poboljšanje cjelokupnog prometnog sustava za 20 %.
Rješenje igre je: 1,5; 7,0 i 11,5. Ako realiziramo sve tri prometne politike, u očekivanom poboljšanju cijelog prometnog sustava za 20 % će i nova prometna infrastruktura imati pozitivni učinak od 1,5 %. Druge dvije politike će isto imati bolji učinak od samostalne primjene. Zato se isplati provesti sve tri politike. Ne postoji neka prometna politika koja će imati dominantni učinak.
Antun Gustav Matoš je rekao: ljudi praštaju sve osim iskrenosti. Bez obzira na Matošev cinizam, Shapleyjeve vrijednosti su iskrene i poštene i treba ih promovirati i primjenjivati. Naravno, ako je kooperativna igra prava metoda za rješavanje prometnog problema i ako smo pošteni i pravedni prilikom prikupljanja, analiziranja i vrednovanja svih (baš svih) ulaznih podataka. Izračunom igre smo mi, inženjeri, (barem) ovdje u komotnoj situaciji jer smo obavili svoj posao, a počinje (puno teži?) posao prometne politike. Hoće li ili neće prometna i/ili neka druga politika prihvatiti naš zaključak prezentiran kroz rješenje objektivne kooperativne igre, to nije naš (inženjerski) problem.