Teorija igara u prometu (1); nekooperativne igre

Dva primjera primjene nekooperativnih igara u prometu.

Teorija igara je u mnogim područjima prometne znanosti bogomdana za iznalaženje rješenja/mogućnosti/zaključaka. Od 2017. godine i prometaši imaju "konja za utrku" zahvaljujući naporima profesorice Pašagić Škrinjar i profesora Abramovića. Njihova iznimna (prava inženjerska) knjiga pod nazivom Teorija igara u prometu i logistici često je u mojim rukama, ali nikako i za radnim stolom, jer ne uspijevam uhvatiti neki posao/projekt u kojem bi teorija igara bila ključna metoda nalaženja rješenja. Budući je čovjek razumno sebično biće, a u prometu poglavito, teorija igara, kao ekonomska kategorija zasnovana na jasnom i strogom matematičkom aparatu, upravo je kao naručena za takva stanja ljudskog uma, bilo kao pojedinca, bilo kao društvene skupine, bilo kao (ne)kontrolirane mase.

Postoje brojne podjela u teoriji igara, a meni je s motrišta prometa osobno najzanimljivija podjela na kooperativne i nekooperativne igre. Ovdje ću opisati dva primjera nekooperativnih igara, a u sljedećoj temi primjer kooperativnih igara. Nekooperativnu igru karakteriziraju:

- igrači; najčešće dva, a može ih biti i (puno) više,

- poznate strategije igrača; što čine i što znaju dok to čine,

- isplate igrača; što će dobiti/izgubiti nakon odigrane igre.

Da bi riješili nekooperativnu igru trebamo znati ponašanje (strategije) svih raspoloživih (mogućih) poteza igrača. Od raznih metoda izbora najpovoljnije strategije za pojedinog igrača zasigurno je zasluženo najpopularnija zasluženo Nashova ravnoteža (ekvilibrijum), ako postoji.

Kooperativna igra sadrži:

- igrače; minimalno dvoje, a može ih biti i puno više,

- postignuća/troškove koji određeni podskup igrača (koalicija) može zajednički postići.

Kooperativna igra traži izračun postignuća svih mogućih koalicija igrača kako bi se pronašla najbolja vrijednost.

Mnogi će reći (opravdano) da su nekooperativne igre esencija prometa: puno nas u istom vremenu i prostoru u mnogo različitih prometala, a svi sudjelujemo s jednim ciljem – doći što brže do odredišta. Prometne vlasti žele isto, ali često na način koji je suprotstavljen interesima pojedinca ili manje skupine i tu dolazi do sukoba koji se rješavaju dominacijom prometnih vlasti putem instrumenata prometne politike, najčešće dva: regulacija (organizacija, ograničenja, zabrane) i cijene (tarife, pristojbe, subvencije). O različitim interesima prometnog sustava i korisnika pisao sam u ovoj temi.

Kroz dva jednostavna primjera podsjetit ću na potencijal (snagu) teorije nekooperativnih igara. Krenut ću sa zatvorenikovom dilemom (koja već svima izlazi na uši), ali u prometnom izričaju. Vječna dilema zašto ljudi radije biraju automobil naspram javnog prijevoza, bez obzira koliko bili društveno odgovorni, ekološki osviješteni i sl., vrlo lako se objasni zatvorenikovom dilemom. Uzmimo za primjer prometni sustav u kojem javni prijevoz ne igra važnu ulogu. Sukobit ćemo interese dva korisnika. Korisnik A će imati dominantu strategiju izbora automobila (prema donjoj matrici isplate) jer:

- se udobnije voziti automobilom od javnog prijevoza,

- ako Korisnik B izabere automobil, Korisnik A nema razloga izabrati javni prijevoz jer smanjuje svoj dobitak; bira neudobniji oblik prijevoza,

- ako Korisnik B izabere javni prijevoz, Korisniku A će biti i ugodnije i brže putovanje automobilom jer će biti manje vozila na cesti.

Analogno će razmišljati Korisnik B pa postoji jedinstvena Nashova ravnoteža (ekvilibrijum) gdje oba korisnika izabiru automobil. Kao i u klasičnoj zatvorenikovoj dilemi, postoji bolje rješenje korištenjem javnog prijevoza, ali matematika (i genij gospodina Nasha) je neumoljiva i ovaj banalan primjer predstavlja još jedan (tisućiti) dokaz zašto u neuređenim prometnim sustavima uvijek biramo (kada imamo priliku) automobil ispred javnog prijevoza, bez obzira na troškove, društvenu (ne)odgovornost, osobnu (ne)razvijenu ekološku svijest, … . Naravno, ako nam automobil pruža barem približno jednaku uslugu kao javni prijevoz. Igra se može prikazati i stablom odlučivanja pa je jasno da odlazak korisnika A jedino u granu izbora automobila jamči pozitivnu isplatu.

Ako igru proširimo na beskonačno puno igrača rezultat je isti jer tako razmišlja svako razumno sebično ljudsko biće (u prometno neuređenom sustavu):

- vjerujem da bi znakovito smanjenje učešća automobila povećalo kvalitetu života, sigurnost prometa, poboljšalo ekološke pokazatelje i dr.,

- to se može dogoditi jedino ako veći broj ljudi prestane voziti,

- ako samo ja i/ili manji broj ljudi prestane voziti neće biti većeg pozitivnog učinka,

- ako većina ljudi prestane voziti sve će biti bolje, ali će i ceste biti praznije pa ću ugodnije, brže i sigurnije putovati automobilom, a moj doprinos onečišćenju će tada biti zanemariv,

- stoga, ne mogu "spasiti svijet" prestankom korištenja automobila.

Promjenu takve paradigme nositelji prometne politike mogu realizirati kroz različite mjere usklađivanja tarifnih politika javnog prijevoza i parkiranja, a sve u cilju promocije i većeg korištenja javnog prijevoza. Kada nositelj prometne politike promijeni vrijednosti matrice isplate, onda su ljudi primorani mijenjati svoje navike – pogled na život – svoju strategiju bivstvovanja u prometnom sustavu.

Želimo povećati broj putnika u javnom prijevozu. Prometnom politikom možemo matricu isplata okrenuti u korist javnog prijevoza kroz sljedeće mjere: skuplje parkiranje, ograničenje kretanja automobilima (pješačke zone) i prisiljavanje na obilazne pravce (dulje vrijeme putovanja), prioritet javnog prijevoza naspram automobila i mogućnost ulaska (prolaska) javnog prijevoza kroz pješačke zone. U tom smislu jedna moguća matrica isplata u korist javnog prijevoza bi izgledala kako je prikazano u sljedećoj tablici. Oba Korisnika imaju razloga izabrati strategiju korištenja javnog prijevoza jer im jedino jamči dobitak (pozitivnu isplatu), bez obzira što drugi korisnik izabrao. 

Malo prometnog inženjerstva, ekonomije, sociologije, građevinarstva, urbanizma te još ponekih znanstvenostručnih znanja i dobit ćemo prometnu politiku – matricu isplate koja će biti taman kakva treba: prednost javnog prijevoza da bude dominantan izbor većine korisnika, a da se ne uguši automobilski promet. Ili obrnuto, ovakvom matricom (dokazivom – zasnovanom na istraživanju) možemo vidjeti što to koči razvoj javnog prijevoza, iako je to na današnjoj razini inženjerskih znanje i iskustava bespredmetno i bespotrebno rasipanje novaca i vremena.

Drugim primjerom želim kroz jednu prometnu priču potvrditi istinitost ekonomskog poučka: nema besplatnog ručka. Budući je prometni sustav sazdan od jako puno (i previše) javnih i privatnih novaca, nije loše se podsjetiti nekih stvari. Uzet ćemo opet kao primjer odnos javnog i automobilskog (privatnog) prometa.

Vrijeme putovanja automobilom T(1) ovisno je o broju vozila/korisnika (x), a putovanje vlakom T(2) traje 20 minuta. Od 100 korisnika, 40 spremno je na dvostruki trošak putovanja ako će brže putovati – prije doći na odredište (korisnici K1), a preostalih 60 korisnika (korisnici K2) ne želi dodatne troškove. Isplativost putovanja je:

I(K1) =100 – 2T,  I(K2) = 100 – T

Ravnotežno stanje je u slučaju jednakog vremena putovanja, a to je kada 60 korisnika koristi automobil (20 = 8 + 60/5), a 40 korisnika koristi vlak. U tom slučaju isplativost putovanja:

I(K1) =100 – 2·20 = 60, I(K2) = 100 – 20 = 80

U korisnički uravnoteženom sustavu svejedno je koliki je udio kojih korisnika u kojem modu prijevoza. Korisnici (K1) ne mogu skratiti vrijeme putovanja, niti povećati svoju korist promjenom moda, a korisnici (K2) su zadovoljni činjenicom uravnoteženog rješenja.

Ako se uvede naplata cestarine može li se postići društvena korist: (1) povećati zadovoljstvo korisnika i (2) povećati korisnost ukupnog prometnog sustava? Za nositelja prometne politike je ključno pitanje: postoji li uopće iznos cestarine s kojim bi svi korisnici sustava bili zadovoljni?

Korisnici (K1) mogu smanjiti svoje vrijeme putovanja ako se voze automobilom; ako svi prijeđu na automobil vrijeme putovanje će biti: 8 + 40/5 = 16 minuta. Iznos cestarine (C) koji su spremi platiti korisnici (K1) dobiva se određivanjem granice kod koje njihovo putovanje automobilom postaje neisplativije od putovanja vlakom:

100 – 2T(1) – C > 100 – 2T(2)

100 – (2·16) – C > 100 – (2·20) ⟹ C < 8

U slučaju da je cestarina manja od 8 novčanih jedinica korisnici (K1) su voljni plaćati za brže putovanje. Riječ "voljni" treba shvatiti dosta široko, nazovimo to ekonomskim razumom koji predstavlja činjenicu da je vrijednost iznosa cestarine manja od vrijednosti uštede zbog kraćeg vremena putovanja.

Odredili smo gornju granicu. Sada moramo i donju, a to je iznos cestarine (C) koju ne žele platiti korisnici (K2) da bi se vozili automobilom. Želimo osigurati da nitko od 60 korisnika (K2) ne prijeđe na automobil. Treba odrediti prag cestarine iznad kojeg korisnici (K2) ne bi bili voljni plaćati cestarinu:

100 – T(2) > 100 – T(1) – C

100 – 20 > 100 – 16 – C ⟹ C > 4

U slučaju da je cestarina veća od 4 novčane jedinice korisnici (K2) neće imati interesa preći na automobil. Ovdje riječ "interes" isto treba shvatiti u okvirima ekonomskog razuma koji predstavlja cestarinu čija je vrijednost veća od ušteđenog vremena putovanja.

Dobili smo rješenje našeg sustava u kojem će korisnici (K2), kojih ima 60, putovati vlakom 20 minuta i neće plaćati dodatne troškove. Korisnici (K1), kojih je 40, dobit će priliku korištenjem automobila putovati kraće (16 min), ali će za to plaćati cestarinu čija vrijednost je manja od ušteđenog vremena. Vrijednost cestarine veća od 4 i manja od 8 novčanih jedinica upućuje na realizaciju rješenja.

Oni koji ne žele dodatno plaćati koristit će vlak (javni prijevoz) uz saznanje da će, ako im ustreba, moći koristiti alternativni mod prijevoza i brže stići. Oni nestrpljivi će plaćati za vožnju automobilom koja jamči kraće putovanje, uz saznanje da cijena cestarine iznosi manje od vrijednosti ušteđenog vremena. Ako im je u jednom trenutku preskupo ili nemaju interes brže putovati, mogu koristiti vlak (javni prijevoz)

Zasigurno će biti korisnika (K1) koji će se žaliti na visinu cestarine, ali na njihovu kritiku se odgovara: (1) činjenicom da plaćaju manje od vrijednosti ušteđenog vremena putovanja, (2) osiguranim kvalitetnim i sigurnim uvjetima vožnje te (3) adekvatnom alternativom ako ne žele plaćati uštedu vremena putovanja. Time smo pokazali (dokazali) da ovako uređeni (organizirani) prometni sustav daje pozitivne odgovore na oba pitanja društvene koristi.

Loš sustav javnog prijevoza ne omogućuje izbor i tada svi radije koriste automobil pa se na cestarinu gleda kao na dodatan i bespotreban trošak – "udar na standard građana". Dobar sustav javnog prijevoza zadržava korisnike (K2) na javnom prijevozu, a dio cestarine (C) se može preliti u poboljšanje (ubrzanje) javnog prijevoza. Korisnici (K2) ostaju na boljem (bržem) javnom prijevozu, a korisnici (K1) i dalje imaju dobre uvjete (nema povećanja prometa) za osiguranje svojeg vremena putovanja.

Ako se ljude informira o mogućnostima i alternativama, ako se takve odluke javno obznanjuju i objasne, onda će kod najvećeg broja ljudi prevladati tzv. ekonomski razum. Osobno sam ekonomski neobrazovan i (polu)informiran, ali i razuman. Svi smo nezadovoljni kada nam se nameće novi trošak bez kvalitetne alternative. Kada alternativa postoji, puno manje "grintamo" i donosimo najbolju osobnu (financijsku) odluku.

Naravno da je ovaj pojednostavljeni primjer (do granice banalnosti) ne pokazuje svu složenost odlučivanja. Ljudi koji poznaju ljude (sociolozi, demografi, …) će nam reći o stanovništvu – korisnicima prometnog sustava. Ekonomisti o njihovom džepu; o standardu i opcijama (ne)održivosti dodatnih troškova u aktualnom trenutku i kratkoročnom razdoblju. Arhitekti će promisliti prostor, a građevinari će reći što treba i kako izgraditi. Mi, prometaši, smo tu negdje "u sredini", svakome se malo guramo u njegov posao da bi na kraju tehnologija (gradskog) prometa iznašla najbolje (održivo) rješenje.

Nevažno je naziva li se rješenje: cestarina, naplata parkiranja, naplata ulaza u određeni dio grada, (lokalni) porez ili nekako drugačije. Igrači(ce) (građani/ke), u ovoj nekooperativnoj igri s promjenjivom sumom i beskonačnim brojem poteza, moraju znati "pravila igre" i osjećati (shvatiti) da su poštena.

Što sve ulazi u cijenu "cestarine"? Na brzinu mi na pamet pada pet elementa: ušteda vremena, udobnost putovanja, trošak zauzeća ceste (prometnog prostora) kroz doprinos zagušenju, ekološki utjecaj automobila te trošak zbog potrebe održavanja prometne infrastrukture. Vjerojatno ih ima još. Najjednostavnije je opisati (procijeniti) uštedu vremena iz gornjeg primjera. Zbog dolaska i odlaska na posao svaki dan uštedimo 8 minuta. Mjesec prosječno ima 21 radni dan. U jednom mjesecu uštedimo 168 minuta. U trenutku pisanja ove teme zadnji dostupni podatci DZS-a za neto iznos medijalne plaće u Hrvatskoj (ove 2023. godine) su za lipanj 1.150 EUR i srpanj 1.141. EUR. Gradovi imaju nešto veću plaću, a budući se radi o gradskom prometu uzet ćemo mjesečnu neto plaću od 1.200 EUR. To nam daje mjesečni vremenski dobitak za vozače automobila od 20 EUR. Mjesečno prosječno imamo 42 vožnje na posao i s posla pa vremenska ušteda u jednoj vožnji iznosi 0,48 EUR. Trebamo li dodati još i trošak uštede vremena jer vozači ne pješače dugo do automobila kao korisnici javnog prijevoza do stajališta? Na ovaj ili uvećani iznos treba dodati četiri preostala (ili više njih) elemenata kako bi se dobio stvarni trošak ušteđenog vremena putovanja. Glede vremena, postavlja se pitanje različitih vrijednosti radnog i slobodnog (obiteljskog) vremena. Zato su tu ostale struke (znanosti) koje će dati (potvrditi) parametre; vrijedi li nešto 0,48 EUR/putovanje ili puno više/manje. Koliko vrijedi udobnost putovanja? Koliko vrijedi razlika korištenja "udobnosti pokretne dnevne sobe" (automobila) naspram vagona vlaka sa stotinu suputnika? Koliko vrijedi sjediti u vlaku s WiFi priključkom ili dobrom knjigom (ako imamo tako dobar javni prijevoz) naspram obveza vozača automobila?

Ako se izračuni nađu u granicama minimalne i maksimalne (ne)prihvatljive "cestarine", onda postoji razlog (i argument) za uvođenje strategije/politike dodatnog nameta za korisnike automobila. Najpoznatiji je primjer Londona, kao prvog megapolisa, koji je uveo congestion charge naknadu za ulazak u središnji dio. Na početku je bilo 5 GBP, a danas je 15 GBP. Imao sam prilike pročitati ekonomski orijentirani članak koji je objasnio iznos naknade od 5 GBP; zašto je to tada bio trošak zagušenja/opterećenja prometnog prostora koje uzrokuje jedno vozilo ulaskom u središnji dio Londona. U kreaciji londonskog sustava, dobro promišljenog u svakom pogledu (prometnom, tehnološkom, financijski održivom, sociološkom, političkom, …), korištena su načela ovdje prikazane tehnike teorije igara. Londonsko rješenje je zasnovano na znanstvenostručnim istraživanjima i rezultatima pa se othrvalo svakoj (ne)ozbiljnijoj kritici, a rezultat svega toga je održanje sustava i namjera proširenja zone naplate. London je brojem stanovnika dvostruko veći od Hrvatske, u 2021. godini njegov BDP je bio devet puta veći od hrvatskog pa to može biti neki orijentir glede cijene od 15 GBP (17,22 EUR) za ulazak automobilom u središte Londona.

Kada smo već na primjeru naplate ulaska postavlja se pitanje objektivnosti načina naplate i broja ulazaka. U Londonu se prvim ulaskom naplaćuje dnevna naknada pa se može ulaziti/izlaziti po želji do 24:00 sata. U Stockholmu se naplaćuje svaki ulazak. Netko tko je dva puta dnevno nakratko ušao da bi ostavio i pokupio dijete u (elitnoj) školi znatno manje opterećuje mrežu od nekoga koji se cijeli dan vozi(ka) unutar te iste zone. Ili obrnuto, dulja vožnja unutar zone izvan vršnih sati stvara manje gubitke od dvije kratke vožnje u vršnim satima. Zato se ovakvi problemi rješavaju kroz prizmu teorije igara, a vrijeme samoupravljivih vozila omogućit će uspostavu kooperativne igre s promjenjivom sumom s beskonačnim brojem poteza, odnosno uspostavu uravnoteženog odnosa između zahtjeva korisnika (user equilibrium) i sustava (system optimum), kako sam opisao u ovoj temi .

Promet, koliko god bio stohastičan, se opisuje i vrednuje kroz brojeve pa je svaka matematička disciplina više-manje uporabljiv alat za rješavanje prometnih problema. Teorija igara, koja u svojoj srži sadrži strategiju, sukob, (ne)kooperaciju, (ne)racionalne odluke, itekako je dobro došao i koristan "prometni alat". Spomenuta knjiga na početku sadrži brojne primjere pa je još jednom preporučujem kao obvezno inženjersko štivo. U ovoj temi sam malo (puno) "zaglibio" u područja izvan prometnog inženjerstva, a opet držim i da je ovakav pristup koristan jer nam daje egzaktne (kvalitativne, brojčane) argumente u diskusijama razine prometne politike, koju često (ne) možemo izbjeći, koliko god to (ne) željeli.