Voronojev dijagram u (cestovnom) prometu

Dva praktična primjera za motivaciju korištenja Voronojevog dijagrama u prometnom inženjerstvu.

Naučili smo odrediti utjecaj neke točke u prostoru s motrišta prometa. Slika 1 pokazuje problem; kojoj od točaka A, B ili C je točka T najbliža? Rješenje je jednostavno. Ako je problem međusobna udaljenost, izmjerimo sve tri udaljenosti. Ako želimo vidjeti (procijeniti) područje utjecaja, ucrtamo tri kružnice iz središta svake od tri točke, pri čemu je polumjer kružnice veći od polovice najveće međusobne udaljenosti između točaka. Dobili smo rješenje – slika 2. Točka A je najudaljenija od T, ali ne možemo procijeniti za točke B ili C. Možda je T najbliži točci C, ali ne znamo sigurno. Sljedeći korak je izmjeriti udaljenosti do preostale dvije točke ili polako smanjivati polumjer kružnice dok točka ne ispadne iz jedne. 

Što ako ima puno točaka, može li brže, učinkovitije, kvalitetnije, jasnije, mogu li se uspostaviti točne granice utjecaja svake točke? Može i mogu! Odgovor nam je dao ukrajinski matematičar Georgij Feodošević Voronoi (1868. – 1908.) svojim dijagramom u kojem se prostor dijeli na ćelije gdje je svaka točka unutar ćelije najbliža "generatoru ćelije". Neki matematičari i prije gospodina Voronoija su koristili taj dijagram, ali se dijagram naziva po njemu. U ravnini imamo skup točaka i možemo ih međusobno omeđiti na opisani način; oko točke oformimo ćeliju (dio ravnine) unutar koje će svaka druga točka biti najbliža toj točci. Neki prostor (ravninu) možemo podijeliti na skup međusobno disjunktnih ćelija (dijelova ravnine) s opisanim svojstvom. Puno lakše (inženjerski i/ili geometrijski) pokazati neko (matematički) opisati. Postoje Voronojevi dijagrami i za 3D probleme i pregršt (dobrih) drugih stvari vezane za 2D i 3D dijagrame, ali nećemo komplicirati.

Nacrtati Voronojev 2D dijagram je (u načelu) lagano, recimo. Načelo pokazuju sljedeće dvije slike. Slika 3 pokazuje početak konstrukcije. Sve točke međusobno povežemo i na središtima spojnica povučemo okomicu. Okomicama smo jednako podijelili ravninu između svake dvije točke, a sjecište okomica nam pokazuje odnose između više točaka. Voronojev dijagram je prikazan na slici 4. Podijelili smo područje na tri ćelije i točno vidimo koje područje pripada točci A, označeno s P(A). U ćeliji (dijelu ravnine) oznake P(A) sve točke su najbliže točci A, a na granicama ćelija podjednako udaljene između dvije točke koju granica ćelija razdvaja. Možemo točno odgovoriti na postavljeno pitanje sa slike 1. Slika 5 dokazuje da smo dobro predmnijevali, točka T je je najbliža Točci C, nalazi se u području utjecaja točke C

Realne prometne zadaće nisu pitanja odnosa tri točke, iako bi geodeti odmah spomenuli triangulaciju. Slika 6 pokazuje problem sa šest točaka. Točkama A, B i C dodali smo još tri točke kako bi oko točke A stvorili zatvorenu ćeliju P(A). Dijagram pokazuje da sjecišta polovišta stranica ne završavaju uvijek unutar pripadajućeg trokuta. Sjecište polovišta stranica trokuta (A,D,F) završava dosta lijevo izvan samog trokuta. Još jedan primjer je da sjecište polovišta stranica trokuta (A,B,E) završava u drugom trokutu (A,B,C).

Što kada točke nisu međusobno "lijepo" raspoređene pokazuje slika 7. Teško je odgovoriti kome je točka T najbliža i kakvi su odnosi područja utjecaja. Kada opišemo kružnice (slika 8) možemo eliminirati točku A, ali nakon ovoga koraka je zaista teško procijeniti kome je najbliža. 

Konstrukcija Voronojevog dijagrama (slike 9 i 10) nam pokazuje "čudno svojstvo". Kada su sjecišta polovišta stranica izvan trokuta onda ne postoji izravna "granica" između ćelija susjednih točaka. Slika 10 nam pokazuje da ćelija P(C) ima "klin" između točaka A i B i baš se u tom "klinu" nalazi točka T čime smo dobili odgovor na pitanje sa slike 7; točka T je najbliža točci C. 

Prvi praktičan primjer je (lokalpatriotski) iz Zagreba. Slika pokazuje prosječno stanje prometa, prema Google Maps 15. rujna 2023. godine, središnjeg dijela Zagreba za prosječnu situaciju petkom u 8:00 sati. Možemo odrediti kritična raskrižja (generatore ćelija), a time i područja utjecaja pojedinog zagušenja. Sličan prikaz je i za poslijepodnevni vršni period. 

Ako pretpostavimo da Voronojev dijagram na sljedećoj slici ima neko znanstvenostručno uporište, odnosno ako Google Maps prosjek iz rujna 2023. godine relevantno opisuje vršne periode onda nam dijagram otkriva da neka raskrižja imaju veće područje utjecaja, dok su neka vrlo bliska. Dakle, ovo nije bez veze, nimalo. Itekako ima smisla. Dijagram nam pokazuje gdje potrošiti novce lokalno (gdje će učinak na jednom raskrižju polučiti rezultat u široj okolici), a gdje se rješenje mora tražiti na koridoru (kroz više ćelija) jer pojedinačni učinci na jednom raskrižju neće polučiti dobar (vidljiv) rezultat zbog interakcije bliskih raskrižja. Onima koji poznaju zagrebačku cestovnu mrežu dijagram će "dokazati" ispravnost nekih predrasuda, a oblik (veličina) nekih ćelija će (moguće) biti i iznenađenje. 

Drugi dijagram je vezan za Split i pokazuje međusobni utjecaj autobusnih stajališta (javnog prijevoza) u središnjeg dijelu Grada. Na GIS platformi su dostupni svi prostorni podatci.

Split i njegovu prometnu mrežu središnjeg dijela poznajem vrlo površno, taman toliko da se ne izgubim i/ili ne napravim prometni prekršaj. Nisam relevantna osoba za tumačenje dijagrama. Nadalje, malo bolje zagledavanje grafa pokazuje da neke ćelije nisu konveksne. Ćelije u Voronojevom dijagramu s konačnim brojem točaka (generatora ćelija) bi trebale biti konveksne, a iznimke su vrlo rijetke. Ovdje iznimaka ne bi trebalo biti pa se radi o mojoj površnosti (neznanju). Uglavnom, uz oprost ili previd navedenih "falingi", osoba s općim strukovnim znanjima o gradskom prometu i javnom prijevozu te specifičnim znanjima/iskustvom o splitskom prometu može iz donjeg dijagrama jako puno zaključiti. Kada se ovakav dijagram komponira s podatcima o: broju i kapacitetima autobusa, slijedu (učestalosti) pojedinih linija, broju putnika, stanju prometnog sustava (poprečni profili i propusna moć cesta, ITS, općenito tehnologija, …), atraktorima u prostoru, ostalim prostornim te sociološkim i demografskim podatcima, dobije se stanje javnog prijevoza s jasnim prednostima/nedostacima te smjernice u kojem prostornom opsegu bi trebalo nešto napraviti i/ili poduzeti (ako je potrebno) za poboljšanja na određenom dijelu mreže.

U mnogim prometnim problemima kružnica je jednostavan, brz i učinkovit alat za određivanje prostornog utjecaja i/ili (među)djelovanja. Kada se pred prometnog inženjera stavi teža (i odgovornija) zadaća, kada se moramo maknuti iz udobnosti "stavova", "mišljenja", "(pr)ocjena", "okvira", …, onda nam treba jače "oružje", a kod promišljanja jasnih distinkcija prostornih odnosa Voronojev dijagram je jednostavan i vrlo učinkovit, barem u sferi 2D poimanja prometnog problema.