Zlatna sredina

Primjene različitih mjera srednjih vrijednosti u prometu.

Puno čitam (i surfam) i neki moj subjektivni stav (s inženjerskog motrišta) je da se previše toga vrti oko "prosjeka" – aritmetičke sredine. Možda je ovo "srednjoškolska" tema, ali vrijedi se podsjetiti raznolikog statističkog alata za kvalitetno prezentiranje (vrednovanje) nekih mjerljivih pojava/procesa/događaja u prometu.

Opisat ću sve četiri najkorištenije sredine: aritmetičku (AS), geometrijsku (GS), harmonijsku (HS) i kvadratnu (KS). Spomenut ću i medijan. Inženjeri uvijek nešto mjere, analiziraju, grupiraju, klasificiraju. Bavimo se numeričkim podatcima ili podatcima koje možemo vrednovati (numerirati). Svaki skup brojeva možemo urediti (sortirati) pa, uz poznavanje minimalnog (min) i maksimalnog (max) elementa, vrijedi:

Moj prvi (polu)profesionalni susret s nekom mjerom izvan klasične aritmetičke sredine bio je pojam ponderirane aritmetičke sredine kojeg sam pronašao u američkom Highway Capacity Manual. Primjer je privoz raskrižja s dvije grupe trakova: prva za kretanja ravno i desno, a druga za lijevo. Imamo pokazatelj prosječnog vremena čekanja u grupama trakova, ali koja vrijednost opisuje privoz. Aritmetička sredina (u ovom primjeru 16,8 s/voz) nije točna jer ima 104 % više vozila za ravno i desno. Ponderirana aritmetička sredina predstavlja omjer zbroja umnoška frekvencija (broja vozila) i pokazatelja (prosječnog vremena čekanja) sa zbrojem frekvencija (svih vozila na privozu). Kada u prometu imamo pojave različitih važnosti (težina, utjecaja), onda se ponderiranom aritmetičkom sredinom određuje srednja mjera (reprezentant) pojave.

Drugi primjer gdje osobno koristim ponderiranu aritmetičku sredinu je procjena duljine vozila. Obično se uzima prosječan prostor za duljinu vozila u repu čekanja 6,0 m (5,0 m za prosječnu duljinu vozila i 1,0 m za sigurnosni razmak između vozila u stajanju). Ako se poznaje struktura prometnog toka onda se može izračunati prosječna duljina vozila za konkretan prometni tok. U sljedećoj tablici je prikazana struktura prometnog toka koja ima prosječnu duljinu vozila 5,8 m pa bi se za neke izračune koristila vrijednost od 6,8 m. Je li u cestovnoj prometnoj tehnici 80 cm puno ili malo, ostavljam na volju čitatelju/ici. 

Medijan se, nezasluženo, rjeđe koristi u inženjerskoj praksi. Medijan je srednja vrijednost u nizu (statističkog) skupa poredanog od najmanjeg do najvećeg. Svi znamo razloge zašto političari (svugdje na svijetu) više vole isticati prosječnu umjesto medijalne plaće. Inženjeri se moraju "svidjeti" samo problemu (izazovu, dilemi) kojeg rješavaju pa medijan uvijek treba uzeti u obzir pri odluci o reprezentantu podataka. Niz od 69 brojeva u sljedećoj tablici prikazuje konkretno mjerenje jednog prometnog procesa u okolici Zagreba u studenom 2022. godine. Brojevi su poredani po veličini i nisu (približno) normalno distribuirani, postoji nekoliko minimalnih vrijednosti koje odstupaju, a poglavito maksimalnih koje narušavaju normalnost. Aritmetička sredina od 150,8 nije dobar reprezentant. Bolje je uzeti medijan skupa, a to je broj 132. Donja vrijednost min = 34; prvi kvartil Q1 = 112,5; treći kvartil Q3 = 181,5; interkvartilni raspon IQR = 69; gornja vrijednost je 282, što znači da postoje tri gornje stršeće vrijednosti (outliers): 296, 327 i 342. Razlika aritmetičke sredine i medijana od 14 % je jako velika ("ogromna"), a koju mjeru uzeti ovisi problemu (izazovu, dilemi) kojeg rješavamo.

Sljedeća mjera je geometrijska sredina. Redovito je koristim u (pr)ocjenama trendova. Zašto geometrijska sredina u opisivanju trendova pokazuje sljedeći konkretan primjer. Brojenje prometa na naplatnoj postaji na A11 Mraclin jug (brojanje dostupna u pdf obliku na web stranicama tvrtke Hrvatske ceste d.o.o.) pokazuje da od 2014. godine prema geometrijskoj sredini (GS) prosječna stopa rasta prometa iznosi +21 % godišnje, dok aritmetička sredina (AS) upućuje na veću stopu rasta +26 %. Tablica i grafički prikaz pokazuju koliko geometrijska sredina bolje opisuje (prati) stvarni trend.

Kod procjene vremenskih trendova putem geometrijske sredine postoji "štos" kojeg inženjeri uvijek koriste. Ako imamo (n) podataka, onda imamo (n-1) stopa rasta. Stope rasta su odnosi sljedećeg i prethodnog vremenskog koraka pa se brojnici i nazivnici susjednih razlomaka pokraćuju, čime prosječan trend predstavlja (n-1) korijen odnosa zadnjeg i prvog pokazatelja.

Harmonijsku sredinu manje susrećem (na žalost i primjenjujem), a često predstavlja jedini mogući (i istiniti) pokazatelj nekog prometnog procesa. Uvijek me podsjeti na putovanje jer je najviše koristim u procjenama srednje prostorne brzine prometnog toka; nešto što se najviše koristi u vangradskim uvjetima opisivanja cestovnog prometa. Koliko je to (ne)učinkovit pokazatelj pokazuje sljedeći popularni primjer. Učenik ne voli ići u školu pa se do škole vucara brzinom V(1) = 3 km/h, a sav veseo iz škole istim putom ide doma brzinom V(2) = 6 km/h. 

Na pitanje kojom prosječnom brzinom učenik hoda do škole i natrag većina automatski odgovori 4,5 km/h. Aritmetička sredina je pogrešan odgovor. Ne poznajemo duljinu puta od kuće do škole; označimo ga sa (d). Ukupan put koji učenik prevali je (2d), a prilikom odlaska u školu treba mu vrijeme (d/V(1)) = (d/3), a pri povratku ((d/V(2)) = (d/6). Možemo izračunati prosječnu brzinu kojom se učenik kreće do škole i natrag:

a to je upravo jednadžba za harmonijsku sredinu dva broja. Rješenje je 4 km/h; učenik prosječno hoda do škole i natrag prosječnom brzinom od 4 km/h. Zato se harmonijska sredina uzima kao dobar reprezentant srednje prostorne brzine kada su nam na raspolaganju podatci o brzinama kretanja vozila na nekom prosjeku (vremenska brzina); na nekom brojilu prometa. Ako imamo (n) vozila prošlih na brojilu prometa onda je njihova prosječna brzina na presjeku jednaka aritmetičkoj sredini, ali ukoliko želimo računati gustoću prometnog toka, ili veličinu šok valova, ili bilo što iz makroskopskog promatranja prometnog toka u okolici mjerne točke, onda moramo koristiti srednju prostornu brzinu V(s) koja predstavlja harmonijsku sredinu brzina izmjerenih na mjernom presjeku. Ovako izračunata srednja prostorna brzina vrijedi u okolici mjerne točke, ne možemo izračunatu vrijednost koristi za analizu duljih (homogenih) dionica.

Harmonijska brzina jako dobro služi ako moramo procijeniti neki proces koji se odvija u nekoliko faza/dionica. U javnom prijevozu najčešće imamo podatak o prosječnim prometnim (komercijalnim) brzinama različitih vidova javnog prijevoza. Ako poznajemo (ne)sretnika koji koristi tri moda javnog prijevoza: autobusom putuje do željeznice, nakon željeznice do odredišta koristiti i tramvaj te poznajemo prosječne prometne brzine kretanja sva tri moda koje respektivno iznose 22, 35 i 15 km/h, onda znamo i njegovu prosječnu brzinu putovanja. To je harmonijska sredina brojeva 22, 35 i 15 koja iznosi 21,3 km/h. Aritmetička sredina je 24 km/h pa vidimo koliku bi grešku (+13 %) unijeli u neki izračun njezinim korištenjem. Ako (ne)sretnik stanuje 20-tak km od mjesta rada (odredišta), onda dnevno na putovanje troši oko dva sata. S jednim podatkom svakog moda prijevoza znamo (jako) puno toga.

Kvadratna sredina se rijetko koristi jer je u (cestovnom) prometu većinom sve vezano na koridore.

Sljedeći primjer može biti vezan na utjecaj pojedinih stajališta javnog prijevoza, ili pokrivanja repetitora određenog područja, ili bilo čega drugoga što je vezano na pokrivanje nečega iz određene točke. Prema primjeru na donjoj slici imamo tri točke koje imaju utjecaj na određeno područje: prva ima utjecaj u polumjeru 230 m, druga u 180 m, a treća u polumjeru 300 m. Koliki je prosječan polumjer utjecaja. Lako je pokazati da kvadratna sredina predstavlja najbolji ocjenjivač utjecaja.

Ukupno područje utjecaja (zanemarujući međusobne presjeke) je 550.721 m2. Prema kvadratnoj sredini prosječan polumjer utjecaja je 242 m i s tom vrijednosti nemamo nikakvu grešku u odnosu na stvarno stanje. Korištenjem aritmetičke sredine (prosjeka) unosimo grešku od -4,1 %. Je li greška od 32.000 m2 malo ili puno? Zato se bilo kakav pokazatelj (utjecaja) područja najbolje opisuje kvadratnom sredinom.

Ako govorimo o volumenu onda bi trebali koristiti kubnu sredinu; treći korijen od prosjeka zbroja kubnih vrijednosti. Zasigurno će netko naći dobar primjer primjene kubne sredine (skladište, kontejnerski terminal, putnički terminal na više razina i sl.). Nemam osobna iskustva s ovim pokazateljem.

Svi mi unutar i oko prometnog inženjerstva i konzaltinga znamo koliko male promjene u prometu mogu biti dramatične (namjerno napisano bez navodnika). Ono što se prometnom (ne)stručnjaku čini da je 30, 50 ili 80 % previše/premalo obično realno predstavlja deficit/suficit manji od 10%. Zato pogrešan izbor mjere središnje tendencije znakovito mijenja (i upropaštava) namjeru dobrog rješenja. Nešto može ispasti "prosječno", a može biti i prosječno (reprezentativno) ako se malo (više) potrudimo i pronađemo (upotrijebimo) pravi pokazatelj, kako je ukratko opisala ova tema.